parmi les
numéros qu’il ne croit pas annoncés par T
, étant seulement
, cette considération réduira à
la probabilité de l’annonce du no
. Enfin, le témoin T
n’annoncera pas la sortie de ce numéro, soit quand il nous trompera et que T
l’aura annoncé, soit quand il ne nous trompera pas et que T
aura annoncé la sortie d’un autre numéro. Nous aurons donc
![{\displaystyle y_{x}=k_{x}y_{x-1}+{\frac {(1-k_{x})\,(1-y_{x-1})}{m-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f3a8a0be8fc1375be7b553e53b2b0a2c4f2273)
,
pour la probabilité complète de l’événement observé, dans l’hypothèse C
. On trouvera de même
![{\displaystyle y'_{x}=k_{x}y'_{x-1}+{\frac {(1-k_{x})\,(1-y'_{x-1})}{m-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d345e92b21b184dd0940a69e3928946f74b31d5)
,
pour cette probabilité dans toute autre hypothèse C
; en sorte que les deux inconnues
et
dépendront d’une même équation aux différences finies du premier ordre, et ne différeront l’une de l’autre que par la constante arbitraire.
En considérant
et désignant cette constante par
, l’intégrale complète de l’équation donnée sera
![{\displaystyle y_{x}={\frac {1}{m}}+{\frac {c\,(mk_{1}-1)\,(mk_{2}-1)\ldots (mk_{x-1}-1)\,(mk_{x}-1)}{(m-1)^{x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13efe5729ca1a299f2a681e1928a13b45e2a2a09)
;
car en y mettant
au lieu de
, on en déduit
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{x-1}&={\frac {1}{m}}+{\frac {c\,(mk_{1}-1)\,(mk_{2}-1)\ldots (mk_{x-1}-1)}{(m-1)^{x-1}}},\\1-y_{x-1}&={\frac {m-1}{m}}-{\frac {c\,(mk_{1}-1)\,(mk_{2}-1)\ldots (mk_{x-1}-1)}{(m-1)^{x-1}}}\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c12eefc378d05e06afe6ca40445ee162b04d033f)
et ces valeurs jointes à celle de
rendent identique l’équation donnée. Pour déterminer la constante
, je fais
dans l’intégrale, et j’observe que la probabilité
qui se rapporte au témoin direct T, doit être celle que l’on a désignée par
dans le numéro précédent. En prenant, dans ce cas de
, l’unité pour le produit des facteurs que l’intégrale renferme, on aura donc