Page:Poisson - Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837.djvu/153

pourra parier à jeu égal, $m$ contre ${\mu -m}$ pour l’arrivée de croix. C’est aussi au moyen de cette probabilité ${\tfrac {m}{\mu }}$ de l’événement simple que l’on devra calculer les probabilités des événements composés, du moins quand elles ne seront pas très faibles par la nature de ces événements.

Cela étant, supposons que l’on ait fait un très grand nombre $m$ de séries d’épreuves, en continuant chaque série, comme dans l’expérience citée, jusqu’à ce que croix ait eu lieu. Soient $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, etc., les nombres de fois que croix est arrivée au premier coup, au deuxième, au troisième, etc. Le nombre total $\mu$ des coups ou des épreuves, sera

$\mu =a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+{\text{etc.}}$ ;

le nombre $m$ des arrivées de croix sera, en même temps,

$m=a_{1}+a_{2}+a_{3}+{\text{etc.}}$ ;

et si l’on appelle $p$ la chance de cette face, on aura

$p={\frac {m}{\mu }}$,

avec d’autant plus d’approximation et d’exactitude que $\mu$ sera un plus grand nombre.

Les probabilités de croix au premier coup, au deuxième coup sans avoir eu lieu au premier, au troisième coup sans être arrivée aux deux premiers, etc., seront $p$, $p(1-p)$, $p(1-p)^{2}$, etc. Or, les nombres de fois que ces événements ont eu lieu étant par hypothèse $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, etc., dans un nombre $m$ de séries d’épreuves, on devra donc avoir, à très peu près,

$p={\frac {a_{1}}{m}}$,$p(1-p)={\frac {a_{2}}{m}}$,$p(1-p)^{2}={\frac {a_{3}}{m}}$, etc.,

si ce nombre est très grand, et lorsque ces probabilités ne seront pas devenues de très petites fractions. En divisant chacune de ces équations par la précédente, on en conclut différentes valeurs de ${1-p}$, et, par suite,