En multipliant par
les deux membres de l’équation (3), les élevant ensuite au carré, et les divisant par
, il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2\,{.}\,2\,{.}\,4\,{.}\,4\,{.}\,6\,{.}\,6\ldots 2n{-}2\,{.}\,2n-2\,{.}\,2n\\&\qquad =\pi (2n)^{2n}e^{-2n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}+{\text{etc.}}\right)^{2}\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3938db895d692672dd0be487ad762a0969494bd)
en élevant les deux membres de l’équation (4) au carré, et supprimant dans le premier un facteur égal à l’unité, on a de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}&1\,{.}\,3\,{.}\,3\,{.}\,5\,{.}\,5\ldots 2n-1\,{.}\,2n-1\\&\qquad =2(2n)^{2n}e^{-2n}\left(1+{\frac {1}{24n}}+{\frac {1}{1152n^{2}}}+{\text{etc.}}\right)^{2}\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd0ce3af8936c360cce0d89bec904c4b327e38c4)
De cette manière, les premiers membres de ces deux équations sont des produits composés d’un même nombre de facteurs, égal à
; et si l’on divise ces équations membre à membre, on en conclut
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\pi \left(1-{\frac {1}{12n}}+{\text{etc.}}\right)\\&\qquad ={\frac {2\,{.}\,2\,{.}\,4\,{.}\,4\,{.}\,6\ldots 2n{-}2\,{.}\,2n-2\,{.}\,2n}{1\,{.}\,3\,{.}\,3\,{.}\,5\,{.}\,5\ldots 2n-3\,{.}\,2n-1\,{.}\,2n-1}}\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69b2f171d7300e12ebd70174d337563cf958eaf9)
résultat qui coïncide dans le cas de
infini, avec la formule connue de Wallis, savoir :
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi ={\frac {2\,{.}\,2\,{.}\,4\,{.}\,4\,{.}\,6\,{.}\,6\,{.}\,8\ldots }{1\,{.}\,3\,{.}\,3\,{.}\,5\,{.}\,5\,{.}\,7\,{.}\,7\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ab93a78729da2ff50ba9f63c3ec6c3d8bb3d54)
.
C’est à Laplace que l’analyse est redevable de la méthode que nous venons d’employer pour réduire les intégrales en séries convergentes dans leurs premiers termes, et propres à en calculer des valeurs approchées, lorsque les quantités soumises à l’intégration sont affectées de très grands exposants. Nous en verrons dans la suite une autre application.
(69). Maintenant, soient E et F deux événements contraires, de nature quelconque, dont un seul arrivera à chaque épreuve ; désignons par
et
leurs probabilités que nous supposerons constantes ; appelons
la probabilité que dans un nombre
d’épreuves, E arrivera un nombre
de fois, et F un nombre
de fois ; nous aurons (no 14)
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,
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(5)
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