formule et l’équation (12) deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} &={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\sqrt {\frac {2}{\pi \mu }}}e^{-k^{2}},\\k^{2}&={\frac {\mu }{2}}\log {\frac {\mu }{2q(\mu +1)}}+{\frac {\mu +2}{2}}\log {\frac {\mu +2}{2p(\mu +1)}}\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fce7b8ffd17913ba2ad978bb37885c9d2abd8964)
et
exprimera la probabilité que dans un très grand nombre pair d’épreuves, l’événement F le plus probable n’arrivera cependant pas plus souvent que l’événement contraire E. En appelant
la probabilité qu’ils arriveront tous les deux le même nombre de fois,
sera la probabilité que F arrivera moins souvent que E. Dans le cas de
, il est évident que
sera aussi la probabilité que E arrivera moins souvent que F ; le double de
, ajouté à la probabilité
, donnera donc la certitude, ou, autrement dit,
sera l’unité ; d’où l’on conclut
![{\displaystyle \mathrm {U} ={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi \mu }}}e^{-k^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e104ab6dca1d80f6743b490d9536313e416797)
;
et c’est, en effet, ce que l’on peut aisément vérifier.
En réduisant en série, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu \log {\frac {\mu }{\mu +1}}&=-\mu \log {\left(1+{\frac {1}{\mu }}\right)}=-1+{\frac {1}{2\mu }}-{\text{etc.}},\\(\mu +2)\log {\frac {\mu +2}{\mu +1}}&=-(\mu +2)\log {\left(1-{\frac {1}{\mu +2}}\right)}=1+{\frac {1}{2(\mu +2)}}+{\text{etc.}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c052a148b320ce91f2250a6cf6d81b76510a3c)
et, par conséquent,
![{\displaystyle k^{2}={\frac {1}{4\mu }}+{\frac {1}{4(\mu +2)}}+{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87eaeab08369031de5d33e72099566fbb30a488)
;
donc en conservant seulement les termes du même ordre de petitesse que la fraction
, nous aurons
![{\displaystyle k={\frac {1}{\sqrt {2\mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a777265c9600e5658bea94d75d36e50acabe77)
,
![{\displaystyle e^{-k^{2}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a870dd5d21dda85df908af55ebe4c3bd638ffac0)
.