appelle
la différence, il vient
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(16)
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et d’après la signification de ces deux probabilités
, il est aisé de voir que
sera la probabilité que l’événement F arrivera dans un très grand nombre
d’épreuves, un nombre de fois qui n’excédera pas la seconde valeur de
, et surpassera la première au moins d’une unité, si elle est un nombre entier, et de moins d’une unité, si elle n’en est pas un.
(79). Pour simplifier ce résultat, soient
le plus grand nombre entier contenu dans
, et
l’excès de
sur
; désignons par
, une quantité telle que
soit un nombre entier, très petit par rapport à
; et faisons ensuite}}
![{\displaystyle {\begin{aligned}q+f-r\,{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}&=-u\,{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}-1,\\q+f-r'{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}&=u\,{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55a50a80f0ef7ff310c78580d2349c9cbd47ff71)
Les limites des valeurs de
auxquelles se rapporte la probabilité
, deviendront
![{\displaystyle n=\mathrm {N} -u\,{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b584e8d58f93dcd6aef3042289a6cb0f2861e7aa)
,
![{\displaystyle n=\mathrm {N} +u\,{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/452cdc6d39f5f136bb22f5f56a3fb735913dc97f)
;
par conséquent, la formule (16) exprimera alors la probabilité que
excédera au moins d’une unité cette première limite, et ne surpassera pas la seconde, c’est-à-dire la probabilité que ce nombre sera contenu entre les limites
![{\displaystyle \mathrm {N} \mp u\,{\sqrt {2\mu pq}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc53e08387bda98b31e8b9ac956a775b855be195)
,
équidistantes de
, et dans lesquelles on a mis
au lieu de
, ou qu’il sera égal à l’une d’elles.
D’après les équations qu’on vient de poser, et les expressions de
et
, on aura
![{\displaystyle r+\delta =u+\varepsilon +{\frac {1}{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e22dd03f4e532a5306eec752d7087dd8c9cfce)
,
![{\displaystyle r'-\delta '=u-\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1668e1d4f3e421e7f07fee9114f6da99a611348d)
;
étant une quantité de l’ordre de petitesse de la fraction
. Or, en