fraction
, on aura
![{\displaystyle {\frac {n}{\mu }}=q+u{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd20efd6202c51a32fba452584a9a45f4676fdbd)
,
![{\displaystyle {\frac {m}{\mu }}=p-u{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8214db57777426c6913be41c374d029812bf84f2)
;
d’où l’on conclut
![{\displaystyle \log {\left({\frac {\mu q}{n}}\right)^{\!n}\left({\frac {\mu p}{m}}\right)^{\!m}}=-n\log {\!\left(1+{\frac {u}{q}}{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}\right)}-m\log {\!\left(1-{\frac {u}{p}}{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58aa5026be44c87f6d7996806028ef62a867aa56)
,
ou, ce qui est la même chose,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log \left({\frac {\mu q}{n}}\right)^{\!n}&\left({\frac {\mu p}{m}}\right)^{\!m}=-\mu q\log {\!\left(1+{\frac {u}{q}}{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}\right)}-\mu p\log {\!\left(1-{\frac {u}{p}}{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}\right)}\\&-u{\sqrt {2\mu pq}}\left[\log {\!\left(1+{\frac {u}{q}}{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}\right)}-\log {\!\left(1-{\frac {u}{q}}{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}\right)}\right]\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bcf7308c825537c1c6d004a6cd8f7abda00c99b)
or, en développant ces logarithmes, et négligeant toujours les termes de l’ordre de
, on trouve
pour la valeur du second membre de cette équation ; par conséquent, nous aurons
![{\displaystyle \left({\frac {\mu q}{n}}\right)^{\!n}\left({\frac {\mu p}{m}}\right)^{\!m}=e^{-u^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9257adce13b633dafa7734ae6b527ff0bd32de92)
;
et comme on a aussi, d’après les équations précédentes,
![{\displaystyle {\frac {mn}{\mu }}=\mu pq}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc4ba273d4ef2780509d0873d9236771b8263e36)
,
la formule (6) deviendra
![{\displaystyle \mathrm {U} ={\frac {e^{-u^{2}}}{\sqrt {2\pi \mu pq}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0abd2c158a569d1d78ec3b98582f309b8540430)
;
ce qu’il s’agissait de vérifier.
La première valeur de
du numéro précédent, étant la probabilité que le nombre
ne surpassera pas la limite
, dans laquelle je mets
au lieu de
, il s’ensuit que si l’on fait
dans la valeur de
et qu’on la retranche ensuite de celle de
, la diffé-