et négligeant ensuite la fraction
, la quantité contenue entre les parenthèses, dans cette formule, deviendra
![{\displaystyle 1+\omega +{\frac {\omega ^{2}}{1\,{.}\,2}}+{\frac {\omega ^{3}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}+\ldots +{\frac {\omega ^{n}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080df3bd1f68b78b31fdedeb2c3ed5f05a3f3057)
.
En même temps, on aura
![{\displaystyle p=1-{\frac {\omega }{\mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63882fe3276abbbea6c311ef9e2cb50acccab510)
,
![{\displaystyle p^{m}=\left(1-{\frac {\omega }{\mu }}\right)^{\!\mu }\left(1-{\frac {\omega }{\mu }}\right)^{\!-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e483faff098b43c7c21a97a5993ab1fe00827a0b)
;
on pourra remplacer par l’exponentielle
, le premier facteur de cette valeur de
, et réduire le second à l’unité ; par conséquent, d’après l’équation (9), nous aurons, à très peu près,
![{\displaystyle \mathrm {P} =\left(1+\omega +{\frac {\omega ^{2}}{1\,{.}\,2}}+{\frac {\omega ^{3}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}+\ldots +{\frac {\omega ^{n}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}\right)e^{-\omega }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659f4103ac033b73705981cb5783e59208237e3a)
,
pour la probabilité qu’un événement dont la chance à chaque épreuve est la fraction très petite
, n’arrivera pas plus de
fois dans un très grand nombre
d’épreuves.
Dans le cas de
, cette valeur de
se réduit à
; il y a donc cette probabilité
que l’événement dont il s’agit n’arrivera pas une seule fois dans le nombre
d’épreuves, et conséquemment, la probabilité
qu’il arrivera au moins une fois, ainsi qu’on l’a déjà vu dans le no 8. Dès que
ne sera plus un très petit nombre, la valeur de
différera très peu de l’unité, comme on le voit, en observant que l’expression précédente de
peut être écrite sous la forme
![{\displaystyle \mathrm {P} =1-{\frac {\omega ^{n+1}e^{-\omega }}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n+1}}\left(1+{\frac {\omega }{n+2}}+{\frac {\omega ^{2}}{n+2\,{.}\,n+3}}+{\text{etc.}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81e2afcd72889e1f323dd68e9a099e30299c8ca)
.
Si l’on a, pas exemple,
, et qu’on suppose
, la différence
sera à peu près un cent-millionième, de sorte qu’il est presque certain qu’un événement dont la chance très faible est
à chaque