dans le premier cas, nous aurons
![{\displaystyle \Pi =1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {2(\mu '+n')}{3{\sqrt {2\pi \mu 'm'n'}}}}e^{-k^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a907b1bf13c9b98d7f59875c0934ec14da78d826)
,
en vertu de la seconde équation (15), et dans le second cas,
![{\displaystyle \Pi ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {2(\mu '+n')}{3{\sqrt {2\pi \mu 'm'n'}}}}e^{-k^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94000a8c3ef1574f9e3929202410a07bea49a9af)
,
en vertu de la première ;
étant une quantité positive donnée par l’équation (12), ou dont le carré est
![{\displaystyle k^{2}=n'\log {\frac {n'}{q(\mu '+1)}}+(m'+1)\log {\frac {m'+1}{p(\mu '+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc23a45e8c517226068cd2ed9fd68177255171c5)
.
Des valeurs extrêmes de
et
, et de celles de
et
, qui doivent être employées les unes et les autres dans ces formules, il résulte}}
![{\displaystyle q={\frac {n'}{\mu '+1}}-v'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/446347a988079472d58d1a77d88e0bf6a386241d)
,
![{\displaystyle p={\frac {m'+1}{\mu '+1}}+v'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a46e84408739a2173bfd7f94ae989bf1a95a100b)
,
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {\alpha }{\sqrt {\mu '}}}-{\frac {v{\sqrt {2mn}}}{\mu {\sqrt {\mu }}}}-{\frac {n'}{\mu '(\mu '+1)}}=v'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7417c9dac4e1aee14e2ac7f9c603c9ee90521ba9)
.
Cette quantité
sera de l’ordre de
; on aura donc, en séries très convergentes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\log {q}&=\log {\frac {n'}{\mu '+1}}-{\frac {(\mu '+1)v'}{n'}}-{\frac {(\mu '+1)^{2}v'^{2}}{2n'^{2}}}-{\frac {(\mu '+1)v'^{3}}{3n'^{3}}}-{\text{etc.}},\\\log {p}&=\log {\frac {m'+1}{\mu '+1}}+{\frac {(\mu '+1)v'}{m'+1}}-{\frac {(\mu '+1)^{2}v'^{2}}{2(m'+1)^{2}}}+{\frac {(\mu '+1)v'^{3}}{3(m'+1)^{3}}}-{\text{etc.}}\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc489f2c49069d2d86c7f71641090841f0711fe)
d’où l’on déduit, au degré d’approximation où nous nous arrêtons,
![{\displaystyle k^{2}={\frac {\mu '^{3}v'^{2}}{2m'n'}}-{\frac {(m'-n')\mu '^{4}v'^{3}}{3m'^{2}n'^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a38456e81a640950b6c65d22c16b243bd5328be)
,
et ensuite
![{\displaystyle k=\pm k'\left[1-{\frac {2(m'-n')k'}{3{\sqrt {2\mu 'm'^{2}n'^{2}}}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb391ac5900727a687ae8bceb204b0c84432954)
,