dans les limites de l’intégration ; il s’ensuit que quand
sera un très grand nombre, ce produit sera généralement une très petite quantité, pour toutes les valeurs de
qui ne seront pas très petites, et que
s’évanouirait, pour toutes les valeurs finies de
, si
devenait infini. Il n’y aurait d’exception que si les facteurs de
convergeaient indéfiniment vers l’unité ; car on sait que le produit d’un nombre infini de semblables facteurs, peut avoir pour valeur une quantité de grandeur finie. À cause de
![{\displaystyle \rho _{1}^{2}=1-4p_{i}q_{i}\sin ^{2}{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19af913bc7089e94cc97cb9c0245e2a8860d02e)
,
cette circonstance supposerait que l’une des chances des deux événements E et F, ou leur produit
, décrût indéfiniment pendant la série des épreuves. En excluant ce cas particulier, on pourra donc, dans le cas où
est un très grand nombre, considérer la variable
comme une très petite quantité, et négliger la partie de l’intégrale précédente, qui répond aux autres valeurs de
.
En développant alors suivant les puissances de
, on aura, en série très convergente,
![{\displaystyle \rho _{i}=1-2p_{i}q_{i}x^{2}+\left({\tfrac {2}{3}}p_{i}q_{i}-2p_{i}^{2}q_{i}^{2}\right)x^{4}-{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da659e91baa3d2f62fa7be220c737a60e1c17ac)
,
et, par conséquent,
![{\displaystyle \log {\rho _{i}}=-2p_{i}q_{i}x^{2}+\left({\tfrac {2}{3}}p_{i}q_{i}-4p_{i}^{2}q_{i}^{2}\right)x^{4}-{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267976177c22af9c51e3f8f8bf1ebd8829961002)
;
d’où l’on conclut
![{\displaystyle \log {\mathrm {Y} }=-\mu k^{2}x^{2}+\mu \left({\tfrac {1}{3}}k^{2}-k'^{2}\right)x^{4}-{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93ae55ccf362a851bbaaca50398ee5f163230249)
,
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \textstyle 2\sum p_{i}q_{i}=\mu k^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a236f7ff823945d28cd92a7719e194782082655c)
,
![{\displaystyle \textstyle 4\sum p_{i}^{2}q_{i}^{2}=\mu k'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2acbf1453663c79fb99dfd8e619e1ab157694b24)
,
etc.,
et étendant la somme
depuis
jusqu’à
. Si l’on fait aussi
![{\displaystyle x={\frac {z}{\sqrt {\mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb858478a18037e3d8ea5dc89d51e9b37bee0511)
,