que l’on considère la nouvelle variable
comme une quantité très petite par rapport à
, et qu’on néglige les quantités de l’ordre de petitesse de
, il en résultera
![{\displaystyle \mathrm {Y} =e^{-k^{2}z^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d7b3695a7863a4b2ec45044df185ee433c4dc04)
.
D’après les valeurs de
et de
, on aura de même
![{\displaystyle r_{i}=(p_{i}-q_{i})x+{\tfrac {4}{3}}(p_{i}-q_{i})p_{i}q_{i}x^{3}+{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3982be33bf0c2fc9f9398d8ca6304b110b010304)
Je désignerai par
et
les chances moyennes de E et F pendant toute la série des épreuves, de sorte qu’on ait
![{\displaystyle p={\frac {1}{\mu }}{\textstyle \sum p_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d5d83f69a1e46f34b3680e5a2f312dbc8ac082)
,
![{\displaystyle q={\frac {1}{\mu }}{\textstyle \sum q_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366c9537deda42b3d808d718aa4e210f6e6cf612)
,
![{\displaystyle p+q=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ace3fbd4077d63d21ae2c4f004a3151f670b325)
;
la somme
s’étendant toujours depuis
jusqu’à
. Je ferai aussi, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {4}{3\mu }}{\textstyle \sum (p_{i}-q_{i})p_{i}q_{i}}=h}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38ac25d5445bd95e81d7667bbbec0ba2626dab1)
.
En conservant seulement les quantités de l’ordre de petitesse de
, on en déduira d’abord
![{\displaystyle y=z(p-q){\sqrt {\mu }}+{\frac {z^{3}h}{\sqrt {\mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e374d72b61f960dc654bfe26ce94e53cc1481396)
,
et ensuite
![{\displaystyle \cos[y-(m-n)x]=\cos(zg{\sqrt {\mu }})-{\frac {z^{3}h}{\sqrt {\mu }}}\sin(zg{\sqrt {\mu }})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5f80cfd4e3dc73e312daf6c49ddc6390de6f54)
,
où l’on fait, pour abréger,
![{\displaystyle p-{\frac {m}{\mu }}-\left(q-{\frac {n}{\mu }}\right)=g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc5ddfbae1a005341ebfc730f1016ac68600cdbe)
.
Je substitue ces valeurs de
et
dans la for-