développe ce produit suivant les puissances de
, il est aisé de voir que
sera le coefficient de
dans ce développement. Cela est évident, dans le cas de
. Quand
, si l’on représente par
et
deux exposants de
pris, l’un dans la première et l’autre dans la seconde somme
, il est évident que la valeur
de A pourra arriver d’autant de manières différentes que l’équation
aura de solutions distinctes, en prenant pour
et
des nombres compris depuis
jusqu’à
; la probabilité de chacune de ces manières sera le produit des valeurs de
et
, qui répondent à chaque couple de nombres
et
; par conséquent, la probabilité totale de
aura pour expression le coefficient de
dans le produit des deux premières sommes
. Ce raisonnement s’étendra sans difficulté aux cas de
, etc. Lorsque toutes les quantités
,
,
, etc., sont égales, leur produit se change dans la puissance
de l’un des polynômes qui répondent aux sommes
, et ce cas a été considéré dans le no 17.
Cela étant, par une considération semblable à celle qu’on a employée plus haut, si nous faisons
![{\displaystyle t^{\omega }=e^{\theta {\sqrt {-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16c90fbea079f96f143888587d69e97fc5f8769)
,
et si nous désignons par
ce que deviendra le produit des
sommes
, nous aurons
![{\displaystyle \Pi ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\mathrm {X} e^{-m\theta {\sqrt {-1}}}d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29392175e1c39ff2711828a126ee011e956fdd61)
.
Soient actuellement
et
deux nombres donnés, et
la probabilité que la somme
sera comprise entre
et
, ou égale à l’une de ces limites ; la valeur de
se déduira de celle de
en y faisant successivement
; et la somme des valeurs correspondantes de
ayant pour expression
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {-1}}{2\sin {{\frac {1}{2}}\theta }}}\left[e^{-\left(i'+{\frac {1}{2}}\right)\theta {\sqrt {-1}}}-e^{-\left(i-{\frac {1}{2}}\right)\theta {\sqrt {-1}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d97214a930f1fa8474a35330105ce156c03d15)
,
il en résultera
![{\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left[e^{-\left(i'+{\frac {1}{2}}\right)\theta {\sqrt {-1}}}-e^{-\left(i-{\frac {1}{2}}\right)\theta {\sqrt {-1}}}\right]{\frac {\mathrm {X} d\theta }{\sin {{\frac {1}{2}}\theta }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a865f53e08e335f798cd5a01658a34d5b60ea16)
.