parce que la seconde intégrale s’évanouit comme étant composée d’éléments qui sont deux à deux égaux et de signes contraires, et que ceux de la première sont deux à deux égaux et de mêmes signes.
L’exposant
étant un nombre entier et positif, je vais faire voir que cette valeur de
s’obtiendra toujours sous forme finie, en réduisant la puissance
de
, en sinus ou cosinus des multiples de
, au moyen des formules connues, savoir :
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|
(7)
|
qui sont composées chacune d’un nombre fini de termes, et dont la première a lieu quand le nombre
est pair, et la seconde lorsqu’il est impair.
(99). Pour cela, j’observe que l’on a, comme on sait,
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {\gamma x}}{x}}dx=\pm {\frac {1}{2}}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87a271e7d6657fb103ed4ea43edbd2ec17785b8c)
,
en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur, selon que la constante
sera positive ou négative. Soient
et
, deux autres quantités positives ; mettons
et
à la place de
et
, ce qui ne changera rien aux limites de l’intégrale ; nous aurons
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {\beta \gamma x}}{x}}dx=\pm {\frac {1}{2}}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f7f28801f837b5e2ab937a3100b4eda8436bf34)
;
et en multipliant par
, et intégrant ensuite depuis
jusqu’à