et
étant encore des constantes différentes de
et
. On a fait, dans ces dernières équations,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma =\pm (\gamma +\mu g+\varepsilon )^{\mu }&\mp \mu (\gamma +\mu g-2g+\varepsilon )^{\mu }\\&\pm {\frac {\mu \,{.}\,\mu -1}{1\,{.}\,2}}(\gamma +\mu g-4g+\varepsilon )^{\mu }\\&\mp {\frac {\mu \,{.}\,\mu -1\,{.}\,\mu -2}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}(\gamma +\mu g-6g+\varepsilon )^{\mu }+{\text{etc.}}\;;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/140197322a58071178639ee460761877185cf48e)
et l’on a désigné par
, ce que
devient quand on y change le signe de
, et par
et
, ce que deviennent
et
par le changement du signe de
. Or, en renversant l’ordre des termes de
et
, qui sont en nombre fini, il est facile de voir que l’on a
et
quand
est pair,
et
quand
est impair ; au moyen de quoi les équations précédentes deviennent plus simplement
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(9)
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Dans chacune des deux quantités
et
que ces équations renferment, on devra, d’après l’origine des doubles signes de leurs différents termes, prendre le signe supérieur ou le signe inférieur d’un terme quelconque, selon que la quantité qui s’y trouve élevée à la puissance
sera positive ou négative.
Maintenant, en vertu des équations (7), on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {udx}{x^{2}}}&=(-1)^{{\frac {1}{2}}\mu }2^{\mu }\int _{0}^{\infty }\sin ^{\mu }gx\,\cos {\gamma x}\,\sin {\varepsilon x}\,{\frac {dx}{x^{\mu +1}}},\\\int _{0}^{\infty }{\frac {vdx}{x^{2}}}&=(-1)^{{\frac {1}{2}}(\mu -1)}2^{\mu }\int _{0}^{\infty }\sin ^{\mu }gx\,\cos {\gamma x}\,\sin {\varepsilon x}\,{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d792e8879331060f0e8bf4e4d41d05ae25e4fa3)
Les intégrales contenues dans les seconds membres de ces équations sont des quantités finies ; les intégrales
et
, et par suite,