celles qui s’en déduisent en y mettant
et
au lieu de
et
, ont donc aussi des valeurs finies ; par conséquent, la remarque relative à l’équation (8) ne s’applique plus aux équations (9). Or, en mettant
et
à la place de
et
, dans les intégrales qui répondent à
et
, nous aurons
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {u'dx}{x^{2}}}=\alpha \int _{0}^{\infty }{\frac {udx}{x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eaf04a8b1002397337784383255d839a957348f)
,
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {v'dx}{x^{2}}}=\alpha \int _{0}^{\infty }{\frac {vdx}{x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bcfd9f368e88ae9570a691a8a33e2896d1cf9c2)
;
au moyen de quoi et des formules précédentes, les équations (9) se changent en celles-ci :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {4}{\pi }}\left[2^{\mu }\int _{0}^{\infty }\sin ^{\mu }gx\,\cos {\gamma x}\,\sin {\varepsilon x}\,{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}+(-1)^{{\frac {1}{2}}\mu }\mathrm {F} \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}\right]={\frac {\Gamma -\Gamma _{\prime }}{1{.}2{.}3\!\ldots \!\mu }},\\&{\frac {4}{\pi }}\left[2^{\mu }\int _{0}^{\infty }\sin ^{\mu }gx\,\cos {\gamma x}\,\sin {\varepsilon x}\,{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}+(-1)^{{\frac {1}{2}}(\mu -1)}\mathrm {F'} \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}\right]={\frac {\Gamma -\Gamma _{\prime }}{1{.}2{.}3\!\ldots \!\mu }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8479a8843e9e6158c7bb8e0626130d7013da9ee2)
Mais l’intégrale
étant infinie, ces dernières équations ne pourraient pas subsister, si les constantes
et
n’étaient pas nulles ; il faut donc qu’on ait identiquement
et
; ce qu’on pourrait d’ailleurs vérifier, si cela était nécessaire. Cela étant, les deux dernières équations se réduiront à une seule, savoir :
![{\displaystyle {\frac {4}{\pi }}\,{.}\,2^{\mu }\int _{0}^{\infty }\sin ^{\mu }gx\,\cos {\gamma x}\,\sin {\varepsilon x}\,{\frac {dx}{x^{\mu +1}}}={\frac {\Gamma -\Gamma _{\prime }}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8adeb3f742964c552ddfebcbe6883d7b74403e5e)
,
qui aura lieu pour les deux cas de
pair et de
impair ; et si l’on y fait
![{\displaystyle \gamma =\mu h-c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c65877777a4ddd2b04132fc947b76b1113b37bf)
,
et qu’on ait égard à la formule (6), on en conclura finalement
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,
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