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ce qui changera la formule (10) en celle-ci

$\mathrm {P} ={\frac {\mathrm {T} _{\prime }-\mathrm {S} _{\prime }}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu }}$.

Or, en changeant les signes des quantités élevées à la puissance $\mu$ dans les termes de $\mathrm {S} _{\prime }$ et $\mathrm {T} _{\prime }$, ce qui les rendra toutes positives, et exigera que l’on change aussi ou que l’on ne change pas les signes de ces termes, selon que le nombre $\mu$ sera impair ou pair ; et en intervertissant ensuite l’ordre de ces termes dont le nombre est fini, on verra aisément que cette expression de $\mathrm {P}$ deviendra

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {P} &{}={}{\frac {1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu }}&{\Bigg [}\beta ^{\mu }&{}-{}\mu (\beta -1)^{\mu }+{\frac {\mu {.}\mu {-}1}{1.2}}(\beta -2)^{\mu }\\&&&{}-{}{\frac {\mu {.}\mu {-}1{.}\mu {-}2}{1.2.3}}(\beta -3)^{\mu }+{\text{etc.}}\\&&{}-{}\alpha ^{\mu }&{}+{}\mu (\alpha -1)^{\mu }-{\frac {\mu {.}\mu {-}1}{1.2}}(\alpha -2)^{\mu }\\&&&{}+{}{\frac {\mu {.}\mu {-}1{.}\mu {-}2}{1.2.3}}(\alpha -3)^{\mu }+{\text{etc.}}{\Bigg ]}\\\end{alignedat}}$

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formule qui coïncide avec celle que Laplace a trouvée^[1], d’une toute autre manière, pour le même objet.

Elle exprimera la probabilité que, dans un nombre quelconque $\mu$ d’épreuves, la somme des valeurs d’une chose A sera comprise entre les quantités ${2\alpha g}$ et ${2\beta g}$, en supposant que toutes les valeurs de A soient également possibles depuis zéro jusqu’à $2g$, et impossibles en dehors de ces limites. On y prolongera chacune des deux parties qui la composent jusqu’au terme où la quantité élevée à la puissance $\mu$ cessera d’être positive ; en sorte que si $n$ représente le plus grand nombre entier contenu dans $\beta$, la première partie de cette formule s’arrêtera au ${n+1}$^ième terme ou auparavant, selon qu’on aura ${\mu >n}$ ou ${\mu <n}$ ; et il en sera de même à l’égard de la seconde partie, si $n$ est le plus grand nombre entier contenu dans $\alpha$.

Cela posé, quelle que soit la cause qui a déterminé la formation des planètes, on suppose que toutes les inclinaisons possibles des plans de leurs orbites sur celui de l’écliptique, depuis zéro jusqu’à 90°, ont été également probables à l’origine, et l’on demande de déterminer la

1. Théorie analytique des probabilités, page 257.