(Il faut rajouter un facteur
au second terme du membre de droite de la première égalité. — ElioPrrl (d))
nous aurons
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&{\frac {1}{(2g)^{\mu }}}\Gamma &{}={}&{}\pm (\mu -\alpha )^{\mu }\mp \mu (\mu -1-\alpha )^{\mu }\\&&{}\pm {}&{\tfrac {\mu \,{.}\,\mu -1}{1\,{.}\,2}}(\mu -2-\alpha )^{\mu }\mp {\tfrac {\mu \,{.}\,\mu -1\,{.}\,\mu -2}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}(\mu -3-\alpha )^{\mu }\pm {\text{etc.}},\\&{\frac {1}{(2g)^{\mu }}}\Gamma _{\prime }&{}={}&{}\pm (\mu -\beta )^{\mu }\mp \mu (\mu -1-\beta )^{\mu }\\&&{}\pm {}&{\tfrac {\mu \,{.}\,\mu -1}{1\,{.}\,2}}(\mu -2-\beta )^{\mu }\mp {\tfrac {\mu \,{.}\,\mu -1\,{.}\,\mu -2}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}(\mu -3-\beta )^{\mu }\pm {\text{etc.}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3071602223a95194b3e1d425bccb932386a78c2)
où l’on prendra le signe supérieur ou le signe inférieur de chaque terme, selon que la quantité qui s’y trouve élevée à la puissance
sera positive ou négative. Cela étant, en représentant dans ces deux formules, par
et
les sommes des termes qui devront être pris avec leurs signes supérieurs, et par
et
les sommes de ceux qu’on devra prendre avec leurs signes inférieurs, on aura donc
![{\displaystyle \Gamma =(2g)^{\mu }(\mathrm {S} -\mathrm {S} _{\prime })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b13af807f9753bdcab8e12694d9d983fb2a47f9c)
,
![{\displaystyle \Gamma _{\prime }=(2g)^{\mu }(\mathrm {T} -\mathrm {T} _{\prime })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2a9f2e4ef4aeceb75ce3cb3c2af2e03c0241c2b)
;
mais quelle que soit la quantité
, on a, d’après une formule connue et facile à vérifier,
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mu -\delta )^{\mu }&-\mu (\mu -1-\delta )^{\mu }+{\frac {\mu \,{.}\,\mu -1}{1\,{.}\,2}}(\mu -2-\delta )^{\mu }\\&-{\frac {\mu \,{.}\,\mu -1\,{.}\,\mu -2}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}(\mu -3-\delta )^{\mu }+{\text{etc.}}=2^{\mu -1};\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce3c2268c288b0949c29a9794edeebdff96a130b)
si donc on fait successivement
et
, on aura aussi
![{\displaystyle \mathrm {S} +\mathrm {S} _{\prime }=2^{\mu -1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07ce5ee11fd99261fd0e61a9bb6cf52bebcbe585)
,
![{\displaystyle \mathrm {T} +\mathrm {T} _{\prime }=2^{\mu -1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f0fcb706a37f5a8d03dc03207300c385ef4f3d)
;
d’où il résultera
![{\displaystyle \Gamma =(2g)^{\mu }(2^{\mu -1}-2\mathrm {S} _{\prime })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02049a03cfca40c547409f401550325fe6787431)
,
![{\displaystyle \Gamma _{\prime }=(2g)^{\mu }(2^{\mu -1}-2\mathrm {T} _{\prime })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c38a5e47f15e544f4151ee7ae167c77e66953e2)
;