et en la désignant par
, son expression pourra s’écrire sous cette forme
![{\displaystyle \mathrm {H} _{i}={\frac {1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots 2i+2[u(1-u)]^{i+1}}{(1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots i+1)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8376f9d539bd5ea1b1a696dba33ca343e345bb1c)
.
Le maximum du produit
répond à
, et est égal à
. Cette probabilité
diminuera donc à mesure que
s’écartera davantage de
. Elle diminuera aussi continuellement à mesure que
augmentera ; car on déduit de son expression
![{\displaystyle \mathrm {H} _{i+1}={\frac {2i+3\,{.}\,2i+4\,{.}\,u(1-u)}{(i+1)^{2}}}\mathrm {H} _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b55f299d0c87c1ff6904c9554824c138b3a79ab)
;
et d’après le maximum
de
, on en conclut que le rapport de
à
sera toujours moindre que l’unité : la plus grande valeur de
répondra à
et
, et sera égale à
.
Quand
sera un grand nombre, on aura (no 67)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&1.2.3\ldots i{+}1=(i{+}1)^{i+1}e^{-(i+1)}{\sqrt {2\pi (i{+}1)}}\left[1+{\frac {1}{12(i{+}1)}}+{\text{etc.}}\right],\\&1.2.3\ldots 2i{+}2=(2i{+}2)^{2i+2}e^{-(2i+2)}{\sqrt {2\pi (2i{+}2)}}\left[1+{\frac {1}{12(2i{+}2)}}+{\text{etc.}}\right]\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d382d8733f0fe13d8d08828d21c7ff8a799cdee9)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {H} _{i}={\frac {[4u(1-u)]^{i+1}}{\sqrt {\pi (i+1)}}}\left[1-{\frac {1}{8(i+1)}}+{\text{etc.}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ddea7e2123236006033c397386bceedec1ed343)
,
pour la valeur approchée de
, qui sera, comme on voit, une très petite fraction, lorsque
différera notablement de
, ou
de l’unité. Dans le cas de
, et en prenant pour exemple
ou
, cette formule, réduite à ses deux premiers termes, donne 230,94…/1024 pour cette valeur ; ce qui diffère très peu de la valeur 231/1024, quoique
ne soit pas un nombre fort considérable.
La somme
étant tout au plus égale à l’unité, si on la désigne par
, la différence
sera positive ou zéro ; et comme