Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile/Chapitre III

Siméon Denis Poisson

Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile

Bachelier, 1837 (p. 172-245).

CHAPITRE III.

Calcul des probabilités qui dépendent de très grands nombres.

(66). Lorsqu’on veut calculer le rapport des puissances très élevées de deux nombres donnés, on le peut toujours, sans difficulté, au moyen des tables logarithmiques, en employant, s’il est nécessaire, des logarithmes qui contiennent plus de décimales, que ceux dont on fait usage ordinairement. Si $a$ et $b$ sont ces deux nombres, et $m$ et $n$ leurs puissances, on aura

$\operatorname {log.} {\frac {a^{m}}{b^{n}}}={\frac {m\,{.}\operatorname {log.} {a}}{n\,{.}\operatorname {log.} {b}}}$ ;

les produits ${m\,{.}\operatorname {log.} {a}}$, ${n\,{.}\operatorname {log.} {b}}$, et leur rapport s’obtiendront aisément ; et ce rapport étant le logarithme de celui qu’on demande, on trouvera ensuite celui-ci dans les tables. Mais il n’en est plus de même, lorsqu’il s’agit du rapport de deux produits dont chacun est composé d’un très grand nombre de facteurs inégaux, tel que

${\frac {a_{1}{.}\,a_{2}{.}\,a_{3}\ldots a_{m}}{b_{1}{.}\,b_{2}{.}\,b_{3}\ldots b_{n}}}$ ;

les deux nombres $m$ et $n$ étant très grands, l’addition des logarithmes de $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, etc., et de ceux de $b_{1}$, $b_{2}$, $b_{3}$, etc., deviendrait très pénible, et même impraticable, ainsi que le calcul de ce rapport. On est obligé alors de recourir à des méthodes d’approximation, dont Stirling a donné le premier exemple, et qui ont cela de très remarquable qu’elles introduisent, dans les valeurs approchées des rapports que l’on considère, la circonférence du cercle et d’autres quantités transcendantes, quoique leurs valeurs exactes soient des nombres entiers, ou des fractions qui ont des nombres entiers pour numérateurs et pour dénominateurs.

Ces rapports de produits d’un très grand nombre de facteurs, et les sommes de nombres aussi très grands de semblables rapports, se présentent dans la plupart des applications les plus importantes du calcul des probabilités ; ce qui rendrait les règles exposées dans les deux chapitres précédents, bien qu’elles soient complètes, très peu utiles ou tout-à-fait illusoires, sans le secours des formules propres à en calculer les valeurs numériques avec une approximation suffisante. Ce sont ces formules dont nous allons maintenant nous occuper.

(67). Considérons d’abord le produit ${1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}$, des $n$ premiers nombres naturels.

Ici et dans tout ce chapitre, la lettre $e$ sera employée pour représenter la base des logarithmes népériens. Par le procédé de l’intégration par partie, on trouvera

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx=1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n$.

(1)

Le coefficient ${e^{-x}x^{n}}$ de $dx$, sous cette intégrale, s’évanouit pour ${x=0}$ et pour ${x=\infty }$ ; entre ces deux limites, il ne devient jamais infini, et ne passe que par un seul maximum que l’on déterminera en égalant sa différentielle à zéro : en appelant $\mathrm {H}$ sa valeur maxima, et $h$ la valeur correspondante de $x$, on aura

$h=n$,$\mathrm {H} =e^{-h}h^{n}$.

Cela étant, on pourra poser

$e^{-x}x^{n}=\mathrm {H} e^{-t^{2}}$ ;

$t$ désignant une nouvelle variable que l’on fera croître depuis ${t=-\infty }$ jusqu’à ${t=+\infty }$, et dont les valeurs particulières ${t=-\infty }$, ${t=0}$, ${t=\infty }$, répondront respectivement à ${x=0}$, ${x=h}$, ${x=\infty }$. En regardant $x$ comme une fonction de $t$, nous aurons alors

$\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{n}dx=\mathrm {H} \int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}{\frac {dx}{dt}}dt$.

On aura aussi

$\operatorname {log.} {e^{-x}x^{n}}=\operatorname {log.} {\mathrm {H} }-t^{2}$ ;

et si l’on fait

$x=h+x'$,

et qu’on développe suivant les puissances de $x'$, il en résultera

$t^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\!.\operatorname {log.} {\mathrm {H} }}{dh^{2}}}\,x'^{2}+{\frac {1}{2\,{.}\,3}}{\frac {d^{3}\!.\operatorname {log.} {\mathrm {H} }}{dh^{3}}}\,x'^{3}+{\text{etc.}}=0$,

en observant que la différentielle première de $\operatorname {log.} {\mathrm {H} }$ est égale à zéro, et où l’on fera ${h=n}$ après les différentiations. La valeur de $x'$ que l’on tirera de cette équation pourra être représentée par une série de la forme

$x'=h't+h^{2}t^{2}+h'''t^{3}+{\text{etc.}}$ ;

$h'$, $h''$, $h'''$, etc., étant des coefficients indépendants de $t$, que l’on déterminera, les uns au moyen des autres, en substituant cette valeur dans cette équation, et égalant ensuite à zéro la somme des coefficients de chaque puissance de $t$ dans son premier membre. On aura, de cette manière,

$\left.{\begin{aligned}&1+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\!.\operatorname {log.} {\mathrm {H} }}{dh^{2}}}h'^{2}=0,\\&{\frac {d^{2}\!.\operatorname {log.} {\mathrm {H} }}{dh^{2}}}\,h''+{\frac {1}{6}}{\frac {d^{3}\!.\operatorname {log.} {\mathrm {H} }}{dh^{3}}}\,h'^{3}=0,\\&{\text{etc.}}\end{aligned}}\right\rbrace$

(2)

En désignant par $i$ un nombre entier et positif, on a

${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i+1}dt=0,\\&\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i}dt={\frac {1\,{.}\,3\,{.}\,5\ldots 2i-1}{2^{i}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}dt.\end{aligned}}$

On a aussi, comme on sait,

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}dt={\sqrt {\pi }}$ ;

$\pi$ désignant toujours le rapport de la circonférence au diamètre. Donc, à cause de

${\frac {dx}{dt}}={\frac {dx'}{dt}}=h'+2h''t+3h'''t^{2}+{\text{etc.}}$,

nous aurons

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x}x^{n}dx=\mathrm {H} {\sqrt {\pi }}\left(h'+{\frac {1.3}{2}}h'''+{\frac {1.3.5}{4}}h^{\text{V}}+{\frac {1.3.5.7}{8}}h^{\text{VII}}+{\text{etc.}}\right)$.

Il suffira donc de déterminer les coefficients $h'$, $h'''$, $h^{\text{V}}$, etc., de rangs impairs ; or au moyen des équations (2), on trouve

$h'={\sqrt {2n}}$,$h'''={\frac {\sqrt {2n}}{18n}}$,$h^{\text{V}}={\frac {\sqrt {2n}}{1080n^{2}}}$, etc. ;

par conséquent, en ayant égard à l’équation (1) et à la valeur de $\mathrm {H}$, on aura finalement

$1.2.3\!\ldots \!n=n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}+{\text{etc.}}\right)$.

(3)

(68). La série contenue entre les parenthèses sera d’autant plus convergente dans ses premiers termes, qu’il s’agira d’un plus grand nombre $n$. Toutefois, la loi de la série n’étant pas connue, elle peut être du genre des séries qui finissent par devenir divergentes, en les prolongeant convenablement ; mais en réduisant cette série à sa partie convergente, on pourra toujours faire usage de la formule (3) pour calculer une valeur approchée du produit des $n$ premiers nombres naturels ; et il ne sera pas même nécessaire que $n$ soit fort considérable pour que l’approximation soit très grande. En prenant, par exemple, ${n=10}$, la formule réduite à ses trois premiers termes, donne 3 628 800 à moins d’une unité près, et ce nombre entier se trouve être aussi la valeur exacte du produit des 10 premiers nombres naturels.

En mettant $2n$ au lieu de $n$ dans la formule (3), il vient

$1.2.3\!\ldots \!2n{-}1.2n=2(2n)^{2n}e^{-2n}{\sqrt {\pi n}}\left(1+{\frac {1}{24n}}+{\frac {1}{1152n^{2}}}+{\text{etc.}}\right)$ ;

mais on a identiquement

$1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots 2n-1\,{.}\,2n=2^{n}{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n\,{.}\,1\,{.}\,3\,{.}\,5\ldots 2n-1$ ;

on aura, par conséquent,

$1.2.3\!\ldots \!n{.}1.3.5\!\ldots \!2n{-}1=2^{n+1}n^{2n}e^{-2n}{\sqrt {\pi n}}\left(1+{\frac {1}{24n}}+{\text{etc.}}\right)$ ;

et en divisant cette équation membre à membre par l’équation (3), on en conclut

$1.3.5\!\ldots \!2n{-}1=(2n)^{n}e^{-n}{\sqrt {2}}\left(1-{\frac {1}{24n}}+{\frac {1}{1152n^{2}}}+{\text{etc.}}\right)$ ;

(4)

en sorte que l’expression en série du produit des nombres impairs ne renferme plus la quantité ${\sqrt {\pi }}$, qui se trouve dans celle du produit des nombres pairs et impairs.

Si l’on fait ${n=1}$ dans cette équation et dans la formule (3), on en déduit

${\begin{aligned}{\frac {e}{2{\sqrt {2}}}}&=1-{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{1152}}+{\text{etc.}},\\{\frac {e}{\sqrt {2\pi }}}&=1+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{288}}+{\text{etc.}}\end{aligned}}$

Par le calcul direct, on a

${\frac {e}{2{\sqrt {2}}}}=$ 0,96105…, ${\frac {e}{\sqrt {2\pi }}}=$ 1,08444… ;

et ces séries réduites à leurs trois premiers termes, donnent 0,95920 et 1,08680 ; ce qui diffère très peu des valeurs exactes. Ces exemples numériques, joints au précédent, montrent quel degré d’approximation on peut attendre des formules de ce genre, dont on fera un continuel usage dans ce chapitre.

En multipliant par $2^{n}$ les deux membres de l’équation (3), les élevant ensuite au carré, et les divisant par $2n$, il vient

${\begin{aligned}&2\,{.}\,2\,{.}\,4\,{.}\,4\,{.}\,6\,{.}\,6\ldots 2n{-}2\,{.}\,2n-2\,{.}\,2n\\&\qquad =\pi (2n)^{2n}e^{-2n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}+{\text{etc.}}\right)^{2}\;;\end{aligned}}$

en élevant les deux membres de l’équation (4) au carré, et supprimant dans le premier un facteur égal à l’unité, on a de même

${\begin{aligned}&1\,{.}\,3\,{.}\,3\,{.}\,5\,{.}\,5\ldots 2n-1\,{.}\,2n-1\\&\qquad =2(2n)^{2n}e^{-2n}\left(1+{\frac {1}{24n}}+{\frac {1}{1152n^{2}}}+{\text{etc.}}\right)^{2}\;;\end{aligned}}$

De cette manière, les premiers membres de ces deux équations sont des produits composés d’un même nombre de facteurs, égal à ${2n-1}$ ; et si l’on divise ces équations membre à membre, on en conclut

${\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}\pi \left(1-{\frac {1}{12n}}+{\text{etc.}}\right)\\&\qquad ={\frac {2\,{.}\,2\,{.}\,4\,{.}\,4\,{.}\,6\ldots 2n{-}2\,{.}\,2n-2\,{.}\,2n}{1\,{.}\,3\,{.}\,3\,{.}\,5\,{.}\,5\ldots 2n-3\,{.}\,2n-1\,{.}\,2n-1}}\;;\end{aligned}}$

résultat qui coïncide dans le cas de $n$ infini, avec la formule connue de Wallis, savoir :

${\frac {1}{2}}\pi ={\frac {2\,{.}\,2\,{.}\,4\,{.}\,4\,{.}\,6\,{.}\,6\,{.}\,8\ldots }{1\,{.}\,3\,{.}\,3\,{.}\,5\,{.}\,5\,{.}\,7\,{.}\,7\ldots }}$.

C’est à Laplace que l’analyse est redevable de la méthode que nous venons d’employer pour réduire les intégrales en séries convergentes dans leurs premiers termes, et propres à en calculer des valeurs approchées, lorsque les quantités soumises à l’intégration sont affectées de très grands exposants. Nous en verrons dans la suite une autre application.

(69). Maintenant, soient E et F deux événements contraires, de nature quelconque, dont un seul arrivera à chaque épreuve ; désignons par $p$ et $q$ leurs probabilités que nous supposerons constantes ; appelons $\mathrm {U}$ la probabilité que dans un nombre $\mu$ d’épreuves, E arrivera un nombre $m$ de fois, et F un nombre $n$ de fois ; nous aurons (n^o 14)

$\mathrm {U} ={\frac {1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu }{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots m\,{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}p^{m}q^{n}$,

(5)

où l’on devra faire

$m+n=\mu$,$p+q=1$.

Or, si $\mu$, $m$, $n$, sont de très grands nombres, il faudra recourir à la formule (3) pour calculer la valeur numérique de cette quantité $\mathrm {U}$. En supposant chacun de ces trois nombres assez grand pour qu’on puisse réduire cette formule à son premier terme, nous aurons

${\begin{alignedat}{4}&1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu &{}={}&\mu ^{\mu }&&e^{-\mu }&&{\sqrt {2\pi \mu }},\\&1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots m&{}={}&m^{m}&&e^{-m}&&{\sqrt {2\pi m}},\\&1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n&{}={}&n^{n}&&e^{-n}&&{\sqrt {2\pi n}},\end{alignedat}}$

et par conséquent

$\mathrm {U} =\left({\frac {\mu p}{m}}\right)^{m}\left({\frac {\mu q}{n}}\right)^{n}{\sqrt {\frac {\mu }{2\pi mn}}}$,

(6)

pour la valeur approchée de $\mathrm {U}$.

Il est facile d’en conclure que l’événement composé le plus probable, ou celui pour lequel cette valeur de $\mathrm {U}$ sera la plus grande, répondra au cas où le rapport des nombres $m$ et $n$ approchera le plus possible d’être égal au rapport des deux probabilités $p$ et $q$. En effet, si l’on considère, au contraire, $m$ et $n$ comme des nombres donnés et $p$ et $q$ comme des variables dont la somme est l’unité, mais qui peuvent croître par degrés infiniment petits, depuis zéro jusqu’à l’unité, on trouvera, par la règle ordinaire, que le maximum de $\mathrm {U}$ répond ${p={\tfrac {m}{\mu }}}$ et ${q={\tfrac {n}{\mu }}}$. Mais vu le grand nombre des autres événements composés, moins probables que celui-là, sa probabilité sera néanmoins peu considérable et diminuera à mesure que le nombre $\mu$ des épreuves, que l’on suppose très grand, augmentera encore davantage. Par exemple, si l’on a ${p=q={\tfrac {1}{2}}}$, et que $\mu$ soit un nombre pair, l’événement composé le plus probable répondra à ${m=n={\tfrac {\mu }{2}}}$ ; et d’après la formule (6), sa probabilité $\mathrm {U}$ aura pour valeur

$\mathrm {U} ={\sqrt {\frac {2}{\pi \mu }}}$ ;

laquelle décroîtra, comme on voit, en raison inverse de la racine carrée du nombre $\mu$. En prenant $\mu =$ 100, on aura

$\mathrm {U} =$ 0,07979,$1-\mathrm {U} =$ 0,92021 ;

en sorte qu’on pourra parier un peu plus de 92 contre 8, que dans 100 épreuves, les événements contraires E et F, tous les deux également probables, n’arriveront pas néanmoins un même nombre de fois. Si l’on eût conservé le second terme de la formule (3), cette dernière expression de $\mathrm {U}$ se trouvait multipliée par ${1-{\tfrac {1}{4\mu }}}$ ; ce qui diminuerait $\mathrm {U}$ d’un 400^e de sa valeur, dans le cas de $\mu =$ 100.

(70). Non-seulement l’événement composé pour lequel les nombres $m$ et $n$ approchent le plus d’être entre eux comme les fractions $p$ et $q$, est toujours le plus probable, mais dans un nombre $\mu$ d’épreuves, donné et supposé très grand, les probabilités des autres événements composés ne commencent à décroître rapidement que quand le rapport ${\tfrac {m}{n}}$ s’écarte de ${\tfrac {p}{q}}$, en plus ou en moins, au-delà d’une certaine limite dont l’étendue est en raison inverse de ${\sqrt {\mu }}$.

En effet, prenons encore pour exemple le cas de ${p=q={\tfrac {1}{2}}}$ ; soit $g$ une quantité donnée, positive ou négative, et moindre que ${\sqrt {\mu }}$, abstraction faite du signe ; si nous faisons, dans la formule (6),

$m={\frac {1}{2}}\mu \left(1+{\frac {g}{\sqrt {\mu }}}\right)$,$n={\frac {1}{2}}\mu \left(1-{\frac {g}{\sqrt {\mu }}}\right)$,

nous en déduirons

$\mathrm {U} =\left(1-{\frac {g^{2}}{\mu }}\right)^{-{\frac {1}{2}}\mu }\left(1-{\frac {g}{\sqrt {\mu }}}\right)^{{\frac {1}{2}}g{\sqrt {\mu }}}\left(1+{\frac {g}{\sqrt {\mu }}}\right)^{-{\frac {1}{2}}g{\sqrt {\mu }}}{\sqrt {\frac {2}{\pi \,(\mu -g^{2})}}}$.

Or, si $g$ est une fraction ou un nombre très petit par rapport à ${\sqrt {\mu }}$, on aura, par la formule du binôme (n^o 8), à très peu près,

${\begin{aligned}\left(1-{\frac {g^{2}}{\mu }}\right)^{-{\frac {1}{2}}\mu }&=e^{{\frac {1}{2}}g^{2}},\\\left(1-{\frac {g}{\sqrt {\mu }}}\right)^{{\frac {1}{2}}g{\sqrt {\mu }}}&=\left(1+{\frac {g}{\sqrt {\mu }}}\right)^{-{\frac {1}{2}}g{\sqrt {\mu }}}=e^{-{\frac {1}{2}}g^{2}}\;;\end{aligned}}$

et en prenant sous le radical, $\mu$ au lieu de ${\mu -g^{2}}$, il en résultera

$\mathrm {U} ={\sqrt {\frac {2}{\pi \mu }}}e^{-{\frac {1}{2}}g^{2}}$,

pour la loi du décroissement de la probabilité $\mathrm {U}$, dans une petite étendue, de part et d’autre de son maximum. En faisant, par exemple,

$\mu =200$,$g={\frac {1}{\sqrt {2}}}$,

on en conclura que dans 200 épreuves, la probabilité que les événements E et F, dont les chances sont égales, auront lieu le premier 105 fois et le second 95 fois, est à la probabilité qu’ils arriveront chacun 100 fois, comme $\textstyle e^{-{\frac {1}{4}}}$ est à l’unité, ou à peu près, comme 3 est à 4.

La formule (6) suppose que chacun des trois nombres $\mu$, $m$, $n$, est très grand ; cette condition étant remplie, et si le rapport ${\tfrac {m}{n}}$ s’écarte beaucoup de ${\tfrac {p}{q}}$, cette formule donne pour $\mathrm {U}$ une valeur très petite relativement à son maximum ; mais il est bon d’observer que si l’on suivait une autre méthode d’approximation, la valeur toujours très petite de $\mathrm {U}$ que l’on trouverait, lorsque la différence ${{\tfrac {m}{n}}-{\tfrac {p}{q}}}$ est une très petite fraction, pourrait ne pas coïncider avec celle qui se déduit de la formule (6), de telle sorte que le rapport de l’une de ces valeurs approchées à l’autre pourrait différer beaucoup de l’unité.

Pour le faire voir, j’observe qu’en vertu d’une formule qui se trouve dans l’un de mes mémoires sur les intégrales définies^[1], on a

${\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos ^{\mu }{\!x}\cos {(m-n)x}\,dx={\frac {1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu }{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots m\,{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}\,{.}\,{\frac {1}{2^{\mu }}}$.

Quels que soient les nombres $m$ et $n$, et leur somme $\mu$, on aura donc, d’après l’équation (5),

$\mathrm {U} ={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{{\frac {1}{2}}\pi }\cos ^{\mu }{\!x}\cos {(m-n)x}\,dx$,

dans le cas de ${p=q={\tfrac {1}{2}}}$, qu’il nous suffira de considérer. Or, si $\mu$ est un très grand nombre, et si, dans un calcul d’approximation, on le traite comme un nombre infini, le facteur $\cos ^{\mu }{x}$ de $dx$ sous le signe d’intégration, s’évanouira dès que la variable $x$ aura une grandeur finie ; et l’autre facteur $\cos {(m-n)x}$ ayant toujours une valeur finie, il s’ensuit qu’on pourra, sans altérer la valeur de l’intégrale, l’étendre seulement depuis ${x=0}$ jusqu’à ${x=\alpha }$, en désignant par $\alpha$ une quantité infiniment petite et positive. Entre ces limites, on aura

$\cos {x}=1-{\frac {1}{2}}x^{2}$,$\cos ^{\mu }{\!x}=e^{-{\frac {1}{2}}\mu x^{2}}$,

et, par conséquent,

$\mathrm {U} ={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\alpha }e^{-{\frac {1}{2}}\mu x^{2}}\cos {(m-n)x}\,dx$.

Mais actuellement, le facteur $e^{-{\frac {1}{2}}\mu x^{2}}$ s’évanouissant pour toute valeur finie de $x$, on peut aussi, sans altérer la valeur de cette nouvelle intégrale, l’étendre au-delà de ${x=\alpha }$, et si l’on veut jusqu’à ${x=\infty }$ ; et comme on a, d’après une formule connue,

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}\mu x^{2}}\cos {(m-n)x}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{2\mu }}}e^{-{\frac {(m-n)^{2}}{2\mu }}}$,

il en résultera

$\mathrm {U} ={\sqrt {\frac {2}{\pi \mu }}}\,e^{-{\frac {(m-n)^{2}}{2\mu }}}$.

Cela posé, si l’on fait, comme plus haut,

$m-n=g{\sqrt {\mu }}$,

cette valeur de $\mathrm {U}$ coïncidera avec celle qui se déduit de la formule (6), seulement lorsque $g$ sera un très petit nombre relativement à ${\sqrt {\mu }}$ ; et pour d’autres valeurs de $g$, le rapport de l’une à l’autre de ces deux valeurs de $\mathrm {U}$ différera beaucoup de l’unité, et pourra même devenir un très grand nombre. En prenant, par exemple, ${g={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\mu }}}$ et ${m-n={\tfrac {1}{2}}\mu }$, la formule précédente donne

$\mathrm {U} ={\sqrt {\frac {2}{\pi \mu }}}\,e^{-{\frac {1}{8}}\mu }$.

On déduit de la formule (6)

$\mathrm {U} =\left(1-{\frac {1}{4}}\right)^{-{\frac {1}{2}}\mu }\left(1-{\frac {1}{2}}\right)^{{\frac {1}{4}}\mu }\left(1+{\frac {1}{2}}\right)^{-{\frac {1}{4}}\mu }{\sqrt {\frac {8}{3\pi \mu }}}$ ;

ou bien, à cause que le second facteur est à très peu près égal au troisième, il en résulte

$\mathrm {U} =\left({\frac {9}{8}}\right)^{-{\frac {1}{2}}\mu }{\sqrt {\frac {8}{3\pi \mu }}}$ ;

Or, ces deux valeurs de $\mathrm {U}$ s’accordent en ce sens qu’elles sont toutes deux très petites, et qu’elles montrent, en conséquence, que dans un très grand nombre $\mu$ d’épreuves, il y a une probabilité $\mathrm {U}$ extrêmement faible que les deux événements E et F, dont les chances sont égales, arriveront des nombres de fois ${{\tfrac {3}{4}}\mu }$ et ${{\tfrac {1}{4}}\mu }$, ou dont l’un sera triple de l’autre. Mais si l’on divise la dernière valeur de $\mathrm {U}$ par la première quantité qui croît indéfiniment avec $\mu$, et surpasse déjà 800 pour $\mu =$ 100.

(71). Supposons toujours les chances de E et F constantes, mais inconnues. On sait seulement que dans un nombre $\mu$ ou ${m+n}$ d’épreuves, E et F sont arrivés $m$ fois et $n$ fois. On demande la probabilité que dans un nombre $\mu '$ ou ${m'+n'}$ d’épreuves futures, E et F arriveront $m'$ fois et $n'$ fois. En la représentant par $\mathrm {U} '$ ; désignant par $\mathrm {P} _{i}$ le produit des $i$ premiers nombres naturels, de sorte qu’on ait

$\mathrm {P} _{i}=1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots i$ ;

et faisant, pour abréger,

${\frac {1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots \mu '}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots m'\,{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n'}}=\mathrm {H}$,

nous aurons (n^o 46)

$\mathrm {U'} =\mathrm {H} \,{\frac {\mathrm {P} _{m+m'}\mathrm {P} _{n+n'}\mathrm {P} _{\mu +1}}{\mathrm {P} _{m}\mathrm {P} _{n}\mathrm {P} _{\mu +\mu '+1}}}$.

Quels que soient $m'$ et $n'$, si $m$ et $n$ sont de très grands nombres, et que l’on réduise, comme plus haut, la formule (3) à son premier terme, nous aurons

$\mathrm {P} _{n}=n^{n}e^{-n}{\sqrt {2\pi n}}$ ;

les valeurs des autres produits $\mathrm {P} _{n+n'}$, $\mathrm {P} _{\mu +1}$, etc., se déduiront de celle de $\mathrm {P} _{n}$ en y mettant ${n+n'}$, ${\mu +1}$, etc., au lieu de $n$ ; et il en résultera

$\mathrm {U'} =\mathrm {HK} \,{\frac {(m+m')^{m+m'}(n+n')^{n+n'}(\mu +1)^{\mu }}{m^{m}\,n^{n}(\mu +\mu '+1)^{\mu +\mu '}}}$,

pour la valeur approchée de $\mathrm {U'}$, dans laquelle on a fait, pour abréger,

${\frac {\mu +1}{\mu +\mu '+1}}{\sqrt {\frac {(m+m')(n+n')(\mu +1)}{mn(\mu +\mu '+1)}}}=\mathrm {K}$.

On peut aussi mettre cette expression de $\mathrm {U'}$ sous une autre forme : à cause de la grandeur de $\mu$, on a, à très peu près, par la formule du binôme,

$\left(1+{\frac {1}{\mu }}\right)^{\!\mu }=\left(1+{\frac {1}{\mu +\mu '}}\right)^{\!\mu +\mu '}$ ;

et à cause de ${\mu '=m'+n'}$, il en résulte

$\mathrm {U'} =\mathrm {HK} \left(1+{\frac {m'}{m}}\right)^{\!m}\left(1+{\frac {n'}{n}}\right)^{\!n}\left(1+{\frac {\mu '}{\mu }}\right)^{\!-\mu }\left({\frac {m{+}m'}{\mu {+}\mu '}}\right)^{\!m'}\left({\frac {n{+}n'}{\mu {+}\mu '}}\right)^{\!n'}$.

(7)

Si $m'$ et $n'$ sont de très petits nombres par rapport à $m$ et $n$, on aura, à très peu près,

$\left(1+{\frac {m'}{m}}\right)^{\!m}=e^{m'}$,$\left(1+{\frac {n'}{n}}\right)^{\!n}=e^{n'}$,$\left(1+{\frac {\mu '}{\mu }}\right)^{\!-\mu }=e^{-\mu '}$,

soit par la formule du binôme (n^o 8), soit par la considération des logarithmes ; on aura également, à très peu près,

$\left({\frac {m+m'}{\mu +\mu '}}\right)^{\!m'}=\left({\frac {m}{\mu }}\right)^{\!m'}$,$\left({\frac {n+n'}{\mu +\mu '}}\right)^{\!n'}=\left({\frac {n}{\mu }}\right)^{\!n'}$ ;

et l’on pourra aussi remplacer le facteur $\mathrm {K}$ par l’unité dont il différera très peu. Par conséquent, nous aurons

$\mathrm {U'} =\mathrm {H} \,\left({\frac {m}{\mu }}\right)^{\!m'}\left({\frac {n}{\mu }}\right)^{\!n'}$ ;

et d’après la formule (5), nous voyons que cette expression de $\mathrm {U'}$ coïncide avec la probabilité que les événements E et F arriveront des nombres de fois $m'$ et $n'$, dans un nombre d’épreuves ${m'+n'}$, lorsque les chances $p$ et $q$ de E et F sont données à priori, et ont pour valeur certaines ${p={\tfrac {m}{\mu }}}$ et ${q={\tfrac {n}{\mu }}}$. Dans le cas particulier de ${m'=1}$ et ${n'=0}$, on a ${\mathrm {H} =1}$ et ${\mathrm {U'} ={\tfrac {m}{\mu }}}$ ; en sorte que la probabilité qu’un événement E qui a eu lieu un nombre $m$ de fois dans un très grand nombre $\mu$ d’épreuves, arrivera encore une fois dans une nouvelle épreuve, a pour valeur approchée le rapport de $m$ à $\mu$ ; ce qui est conforme à la règle du n^o 49.

Mais lorsque les nombres $m'$ et $n'$ ont des grandeurs comparables à celles de $m$ et $n$, la probabilité $\mathrm {U'}$ n’est plus la même que si les chances de E et F étaient données à priori, et certainement égales à ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$. Pour le faire voir par un exemple, je désigne par $h$ un nombre entier, ou une fraction qui ne soit pas très petite, et je prends

$m'=mh$,$n'=nh$,$\mu '=\mu h$ ;

la quantité $\mathrm {K}$ est alors à très peu près égale à ${\tfrac {1}{\sqrt {1+h}}}$ ; et à cause de ${\mu =m+n}$, la formule (7) se réduit à

$\mathrm {U'} ={\frac {1}{\sqrt {1+h}}}\;\mathrm {H} \,\left({\frac {m}{\mu }}\right)^{\!m'}\left({\frac {n}{\mu }}\right)^{\!n'}$.

En la comparant à la formule (5), et désignant par $\mathrm {U} _{\prime }$, ce que devient celle-ci quand on y fait

${p={\frac {m}{\mu }}}$,${q={\frac {n}{\mu }}}$,

et que l’on y met $m'$ et $n'$ au lieu de $m$ et $n$, on en conclut

$\mathrm {U'} ={\frac {1}{\sqrt {1+h}}}\,\mathrm {U} _{\prime }$ ;

d’où il résulte que $\mathrm {U'}$ est moindre que $\mathrm {U} _{\prime }$, dans le rapport de l’unité à ${\sqrt {1+h}}$, et que, par conséquent, $\mathrm {U'}$ est une très faible probabilité, lorsque $h$ est un très grand nombre.

Ainsi, il y a une différence essentielle entre les probabilités $p$ et $q$ des événements E et F, qui sont données par hypothèse, et leurs probabilités ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$, déduites des nombres de fois que E et F sont arrivés dans un très grand nombre d’épreuves : la probabilité que E et F arriveront des nombres de fois donnée dans une autre série d’épreuves, est moindre dans le second cas que dans le premier ; différence qui tient à ce que les probabilités de E et F, conclues de l’observation, quelque grands que soient les nombres $m$ et $n$ sur lesquels elles sont fondées, ne sont cependant elles-mêmes que probables, tandis que les probabilités de E et F, données à priori, ont des valeurs certaines. Si l’on sait, par exemple, qu’une urne A renferme des nombres égaux de boules blanches et de boules noires, il y aura une probabilité à très peu près égale à 0,07979, comme on l’a vu plus haut, que dans 100 tirages successifs, et en remettant à chaque fois dans A la boule qui en est sortie, on amènera 50 boules de chaque couleur ; mais si la proportion des boules blanches et des boules noires contenues dans A n’est pas donnée, et que l’on sache seulement que dans 100 tirages il est arrivé 50 boules blanches et 50 boules noires, la probabilité que la même chose aura lieu dans 100 nouvelles épreuves ne sera plus que la fraction 0,07979, divisée par ${\sqrt {2}}$, ou 0,05658, en faisant ${h=1}$ dans l’équation précédente.

(72). Pour donner un exemple du cas où les chances des événements E et F varient pendant les épreuves, je suppose qu’une urne A contienne un nombre $c$ de boules dont $a$ boules blanches et $b$ boules noires ; qu’on en tire successivement un nombre $\mu$ de boules, sans remettre dans A les boules qui en seront extraites ; et j’appelle $\mathrm {V}$ la probabilité que dans $\mu$ tirages, on amènera, suivant un ordre quelconque, $m$ boules blanches et $n$ boules noires. D’après la formule du n^o 18, en désignant par $a'$ et $b'$ les nombres de boules blanches et de boules noires qui resteront dans A après les tirages, et leur somme par $c'$, de sorte qu’on ait

$a'=a-m$,$b'=b-n$,$c'=c-\mu$ ;

faisant, pour abréger,

${\frac {1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots c'}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots a'\,{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots b'}}=\mathrm {H'}$ ;

et conservant la notation du numéro précédent, nous aurons

$\mathrm {V} =\mathrm {H'} \,{\frac {\mathrm {P} _{a}\mathrm {P} _{b}\mathrm {P} _{\mu }}{\mathrm {P} _{m}\mathrm {P} _{n}\mathrm {P} _{c}}}$.

Si $a$, $b$, $m$, $n$, sont de très grands nombres, les valeurs des six produits $\mathrm {P} _{a}$, $\mathrm {P} _{b}$, etc., seront données par la formule (3) ; et en la réduisant à son premier terme, et observant qu’on a

$\mu =m+n$,$c=a+b$,

on en conclura

$\mathrm {V} =\mathrm {H'} \left({\frac {a}{c}}\right)^{\!a}\left({\frac {b}{c}}\right)^{\!b}\left({\frac {m}{\mu }}\right)^{\!-m}\left({\frac {n}{\mu }}\right)^{\!-n}{\sqrt {\frac {ab\,{.}\,\mu }{mn\,{.}\,c}}}$,

pour la valeur approchée de $\mathrm {V}$ ; laquelle est exacte et égale à l’unité, dans le cas où l’on a

$m=a$,$n=b$,$\mu =c$,

et où l’on doit prendre, en conséquence, l’unité pour le facteur $\mathrm {H'}$ : elle exprime alors la probabilité que dans un nombre $c$ d’épreuves, on tirera de A, les $a$ boules blanches et les $b$ boules noires que cette urne contenait ; ce qui est la certitude.

Dans le cas où les nombres $m$ et $n$ sont entre eux comme $a$ et $b$, on a aussi

${\frac {a}{c}}={\frac {m}{\mu }}$,${\frac {b}{c}}={\frac {n}{\mu }}$ ;

et si l’on fait

${\frac {a}{c}}=p'$,${\frac {b}{c}}=q'$ ;

l’expression de $\mathrm {V}$ devient

$\mathrm {V} ={\frac {1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots c'}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots a'\,{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots b'}}\,p'^{u'}q'^{b'}{\sqrt {\frac {c}{\mu }}}$.

En la comparant à la formule (5), et désignant par $\mathrm {V}$ la probabilité que deux événements dont les chances seraient constantes et égales aux chances ${\tfrac {a}{c}}$ et ${\tfrac {b}{c}}$ des extradions d’une boule blanche et d’une boule noire à l’origine des tirages, arriveraient des nombres de fois $a'$ et $b'$ dans un nombre $c'$ ou ${a'+b'}$ d’épreuves, on aura

$\mathrm {V} =\mathrm {V'} {\sqrt {\frac {c}{\mu }}}$ ;

ce qui montre que la probabilité $\mathrm {V}$ est plus grande que $\mathrm {V'}$ dans le rapport de ${\sqrt {c}}$ à ${\sqrt {\mu }}$, quel que soit le nombre $c'$ de boules qui restent dans A après les tirages, et pourvu seulement que le nombre $\mu$ de boules qu’on en a tirées soit très grand.

On peut remarquer que l’on a

$a'=p'(c-\mu )$,$b'=q'(c-\mu )$ ;

de sorte que les nombres $a'$ et $b'$ de boules des deux couleurs qui restent dans A, sont entre eux comme les probabilités $p'$ et $q'$, ou comme les nombres $a$ et $b$ de pareilles boules que cette urne contenait primitivement. Si l’on a, par exemple, ${p'=q'={\tfrac {1}{2}}}$, et conséquemment ${a'=b'={\tfrac {1}{2}}c'}$, on aura (n^o 69)

$\mathrm {V'} ={\sqrt {\frac {2}{\pi c'}}}$ ;

et à cause de ${c'=c-\mu }$, il en résultera

$\mathrm {V} ={\sqrt {\frac {2c}{\pi \mu (c-\mu )}}}$ ;

Lorsque ${\mu ={\tfrac {1}{2}}c}$, cette quantité a pour valeur

$\mathrm {V} ={\sqrt {\frac {4}{\pi \mu }}}=\mathrm {V'} {\sqrt {2}}$ ;

d’où l’on conclut que quand une urne A renferme des nombres très grands et égaux, de boules blanches et de boules noires, et qu’on en tire la moitié de leur nombre total, sans y remettre les boules sorties, la probabilité d’amener autant de boules blanches que de boules noires, surpasse, dans le rapport de ${\sqrt {2}}$ à l’unité, la valeur qu’elle aurait si l’on eût remis dans l’urne, la boule extraite à chaque épreuve.

(73). Je reviens actuellement au cas où les chances $p$ et $q$ des deux événements E et F sont constantes, et je vais considérer la probabilité que dans un nombre $\mu$ ou ${m+n}$ d’épreuves, E arrivera au moins $m$ fois et F au plus $n$ fois. Cette probabilité sera la somme des $m$ premiers termes du développement de ${(p+q)^{\mu }}$, ordonnée suivant les puissances croissantes de $q$ ; de sorte qu’en la désignant par $\mathrm {P}$, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} =p^{\mu }+\mu p^{\mu -1}q&+{\frac {\mu \,{.}\,\mu -1}{1\,{.}\,2}}p^{\mu -2}q^{2}+\ldots \\&\qquad \ldots +{\frac {\mu \,{.}\,\mu -1\ldots \mu -n+1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}p^{\mu -n}q^{n}\;;\end{aligned}}$

(8)

mais sous cette forme, il serait difficile de la transformer en une intégrale à laquelle on puisse ensuite appliquer la méthode du n^o 67, lorsque $m$ et $n$ seront de très grands nombres. Cherchons donc d’abord une autre expression de P qui convienne mieux à cet objet.

On peut aussi dire que l’événement composé dont il s’agit consiste en ce que F n’arrivera pas plus de $n$ fois dans les $\mu$ épreuves. En le considérant de cette manière, je l’appellerai G. Il pourra avoir lieu dans les ${n+1}$ cas suivants :

1^o. Si les $m$ premières épreuves amènent toutes l’événement E ; car alors, il ne restera plus que ${\mu -m}$ ou $n$ épreuves qui ne pourront pas amener F plus de $n$ fois. La probabilité de ce premier cas sera $p^{m}$.

2^o. Si les ${m+1}$ premières épreuves amènent $m$ fois E et une fois F, sans que F occupe le dernier rang, condition nécessaire pour que ce second cas ne rentre pas dans le premier. Il est évident que les ${n-1}$ épreuves suivantes ne pouvant amener F que ${n-1}$ fois au plus, cet événement n’arrivera pas plus de $n$ fois dans la totalité des épreuves. La probabilité de l’arrivée de $m$ fois E et de une fois F, qui occuperait un rang déterminé, étant $p^{m}q$, et ce rang pouvant être les $m$ premiers, il s’ensuit que la probabilité du second cas favorable à G, sera $mp^{m}q$.

3^o. Si les ${m+2}$ premières épreuves amènent $m$ fois E et deux fois F, sans que F occupe le deuxième rang, ce qui est nécessaire et suffisant pour que ce troisième cas ne rentre ni dans le premier, ni dans le second. La probabilité de l’arrivée de $m$ fois E et de deux fois F, dans des rangs déterminés, serait $p^{m}q^{2}$ ; en prenant deux à deux les ${m+1}$ premiers rangs pour y placer F, ou a ${{\tfrac {1}{2}}m(m+1)}$ combinaisons différentes ; la probabilité du troisième cas favorable à G aura donc ${{\tfrac {1}{2}}m(m+1)p^{m}q^{2}}$ pour valeur.

En continuant ainsi, on arrivera enfin au ${n+1}$^ième cas, dans lequel les $\mu$ épreuves amèneront $m$ fois E et $n$ fois F, sans que F occupe le dernier rang, afin que ce cas ne rentre dans aucun des précédents ; et sa probabilité sera

${\frac {m\,{.}\,m+1\,{.}\,m+2\ldots m+n-1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}p^{m}q^{n}$.

Ces ${n+1}$ cas étant distincts les uns des autres, et présentant toutes les manières différentes dont l’événement G puisse avoir lieu, sa probabilité complète sera la somme de leurs probabilités respectives (n^o 10) ; en sorte que nous aurons

${\begin{aligned}\mathrm {P} =p^{m}{\Big [}1+mq&+{\frac {m\,{.}\,m+1}{1\,{.}\,2}}q^{2}+{\frac {m\,{.}\,m+1\,{.}\,m+2}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}q^{3}+\ldots \\&\qquad \ldots +{\frac {\mu \,{.}\,m+1\,{.}\,m+2\ldots m-n+1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}q^{n}{\Big ]}\;;\end{aligned}}$

(9)

expression qui doit coïncider avec la formule (8), mais qui a l’avantage de pouvoir se transformer aisément en intégrales définies, dont les valeurs numériques pourront être calculées par la méthode du n^o 67, avec d’autant plus d’approximation que $m$ et $n$ seront de plus grands nombres.

(74). Pour effectuer cette transformation, j’observe qu’en intégrant ${n+1}$ fois de suite par partie, et désignant par $\mathrm {C}$ une constante arbitraire, on aura

${\begin{aligned}\mu \int {\frac {x^{n}dx}{(1+x)^{\mu +1}}}&=\mathrm {C} -{\tfrac {x^{n}}{(1+x)^{\mu }}}-{\tfrac {n}{\mu -1}}{\tfrac {x^{n-1}}{(1+x)^{\mu -1}}}-{\tfrac {n\,{.}\,n-1}{\mu -1\,{.}\,\mu -2}}{\tfrac {x^{n-2}}{(1+x)^{\mu -2}}}\\\ldots &-{\tfrac {n\,{.}\,n-1\,{.}\,n-2\,\ldots \,2\,{.}\,1}{\mu -1\,{.}\,\mu -2\,{.}\,\mu -3\,\ldots \,\mu -n+1\,{.}\,\mu -n}}{\tfrac {1}{(1+x)^{\mu -n}}}.\end{aligned}}$

Comme on a ${\mu >n}$, tous les termes de cette formule, excepté $\mathrm {C}$, disparaissent quand ${x=\infty }$ ; si donc on désigne par $\alpha$ une quantité positive quelconque, ou zéro, on en conclura

${\begin{aligned}\mu \int _{\alpha }^{\infty }{\frac {x^{n}dx}{(1+x)^{\mu +1}}}&=\mathrm {C} -{\tfrac {\alpha ^{n}}{(1+\alpha )^{\mu }}}-{\tfrac {n}{\mu -1}}{\tfrac {\alpha ^{n-1}}{(1+\alpha )^{\mu -1}}}-{\tfrac {n\,{.}\,n-1}{\mu -1\,{.}\,\mu -2}}{\tfrac {\alpha ^{n-2}}{(1+\alpha )^{\mu -2}}}\\\ldots &-{\tfrac {n\,{.}\,n-1\,{.}\,n-2\,\ldots \,2\,{.}\,1}{\mu -1\,{.}\,\mu -2\,{.}\,\mu -3\,\ldots \,\mu -n+1\,{.}\,\mu -n}}{\tfrac {1}{(1+\alpha )^{\mu -n}}}.\end{aligned}}$

Dans le cas de ${\alpha =0}$, cette équation se réduit à

$\mu \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n}dx}{(1+x)^{\mu +1}}}={\frac {n\,{.}\,n-1\,{.}\,n-2\,\ldots \,2\,{.}\,1}{\mu -1\,{.}\,\mu -2\,{.}\,\mu -3\,\ldots \,\mu -n+1\,{.}\,\mu -n}}$ ;

et en divisant l’équation précédente par celle-ci, et faisant, pour abréger

${\frac {x^{n}}{(1+x)^{\mu +1}}}=\mathrm {X}$,

on obtient facilement

${\begin{aligned}{\frac {\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx}{\int _{0}^{\infty }\mathrm {X} dx}}={\frac {1}{(1+\alpha )^{m}}}&\left[1+m\,{\frac {\alpha }{1+\alpha }}+{\frac {m\,{.}\,m+1}{1\,{.}\,2}}{\frac {\alpha ^{2}}{(1+\alpha )^{2}}}+\ldots \right.\\\ldots &+\left.{\frac {m\,{.}\,m+1\,{.}\,m+2\ldots m+n-1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}{\frac {\alpha ^{n}}{(1+\alpha )^{n}}}\right].\end{aligned}}$

Or, si l’on prend

$\alpha ={\frac {p}{q}}$,

et si l’on observe qu’on a ${p+q=1}$, le second membre de cette dernière équation coïncidera avec la formule (9) ; pour cette valeur de $\alpha$, nous aurons donc

$\mathrm {P} ={\frac {\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx}{\int _{0}^{\infty }\mathrm {X} dx}}$.

(10)

Dans le cas de ${n=0}$ et ${m=\mu }$, $\mathrm {P}$ est la probabilité que E arrivera au moins $\mu$ fois, ou à toutes les épreuves ; par conséquent, $\mathrm {P}$ doit avoir $p^{\mu }$ pour valeur ; et, en effet, pour ${n=0}$, on a,

$\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx={\frac {1}{\mu (1+\alpha )^{\mu }}}={\frac {1}{\mu }}p^{\mu }$,$\int _{0}^{\infty }\mathrm {X} dx={\frac {1}{\mu }}$,$\mathrm {P} =p^{\mu }$.

Dans le cas de ${n=\mu -1}$ et ${m=1}$, $\mathrm {P}$ est la probabilité que E arrivera au moins une fois, ou que F n’arrivera pas à toutes les épreuves ; on doit donc avoir

$\mathrm {P} =1-q^{\mu }$ ;

ce que l’on peut aussi vérifier. Pour cela, je fais

$c={\frac {1}{y}}$,$dx=-{\frac {dy}{y^{2}}}$,$\alpha ={\frac {1}{\beta }}$ ;

pour ${n=\mu -1}$, il en résulte

${\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx&=\int _{0}^{\beta }{\frac {dy}{(1+y)^{\mu +1}}}={\frac {1}{\mu }}\left[1-{\frac {1}{(1+\beta )^{\mu }}}\right],\\\int _{0}^{\infty }\mathrm {X} dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {dy}{(1+y)^{\mu +1}}}={\frac {1}{\mu }}\;;\end{aligned}}$

et à cause de

$\beta ={\frac {1}{\alpha }}={\frac {p}{q}}$,${\frac {1}{1+\beta }}=q$,

la formule (10) coïncide avec la valeur précédente de $\mathrm {P}$.

(75). Appliquons d’abord la méthode du n^o 67 à l’intégrale ${\textstyle \int _{0}^{\infty }\mathrm {X} dx}$.

En appelant, comme dans ce numéro, $h$ la valeur de $x$ qui répond au maximum de $\mathrm {X}$, et $\mathrm {H}$ la valeur correspondante de $\mathrm {X}$, l’équation ${{\tfrac {d\mathrm {X} }{dx}}=0}$, qui servira à déterminer $h$ sera

$n(1+h)-(\mu +1)h=0$,

d’où l’on conclut

$h={\frac {n}{m+1}}$,$\mathrm {H} ={\frac {n^{n}(m+1)^{m+1}}{(\mu +1)^{\mu +1}}}$.

Si l’on fait, dans les équations (2),

$\mathrm {H} ={\frac {h^{n}}{(1+h)^{\mu +1}}}$,

et qu’après avoir effectué les différentiations relatives à $h$, on y mette pour cette quantité, sa valeur précédente, on en déduit

${\begin{alignedat}{2}&h'&{}={}&{\sqrt {\frac {2(\mu +1)n}{(m+1)^{3}}}},\\&h''&{}={}&{\frac {2(\mu +1+n)}{3(m+1)^{2}}},\\\end{alignedat}}$
etc.

et lorsque $m$, $n$, $\mu$, seront de très grands nombres et du même ordre de grandeur, il est aisé de voir que ces valeurs des quantités $h'$, $h''$, $h'''$, etc., formeront une série très rapidement décroissante, dont le premier terme $h'$ sera du même ordre de petitesse que la fraction ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu }}}$, le second $h''$ de l’ordre de ${\tfrac {1}{\mu }}$, le troisième $h'''$ de l’ordre de ${\tfrac {1}{\mu {\sqrt {\mu }}}}$, et ainsi de suite.

Cela posé, nous aurons, pour la valeur en série de l’intégrale donnée,

$\int _{0}^{\infty }\mathrm {X} dx=\mathrm {H} {\sqrt {\pi }}\left(h'+{\frac {1\,{.}\,3}{2}}h'''+{\frac {1\,{.}\,3\,{.}\,5}{4}}h^{\mathrm {V} }+{\text{etc.}}\right)$.

(11)

(76). L’expression de l’autre intégrale ${\textstyle \int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx}$ contenue dans la formule (10) sera différente selon qu’on aura ${\alpha >h}$ ou ${\alpha <h}$ en désignant toujours par $h$ la valeur de $x$ qui répond au maximum de $\mathrm {X}$.

En effet, la variable que l’on a représentée par $t$ dans la transformation du n^o 67, doit être positive pour toutes les valeurs de $x$ supérieures à $h$, et négative pour toutes les valeurs de $x$ moindres que $h$ ; or, si l’on appelle $\theta$ et $\mathrm {A}$ les valeurs de $t$ et de $\mathrm {A}$, qui répondent à ${x=\alpha }$, on aura

$\mathrm {A} ={\frac {\alpha ^{n}}{(1+\alpha )^{\mu +1}}}$,$\mathrm {A} =\mathrm {H} e^{-\theta ^{2}}$ ;

à cause de ${\alpha ={\tfrac {q}{p}}}$, et en ayant égard à la valeur précédente de $\mathrm {H}$, on en déduit

$e^{-\theta ^{2}}=\left[{\frac {q\,(\mu +1)}{n}}\right]^{n}\left[{\frac {p\,(\mu +1)}{m+1}}\right]^{m+1}$ ;

d’où l’on tire ${\theta =\pm k}$, en faisant, pour abréger,

$k^{2}=n\log {\frac {n}{q(\mu +1)}}+(m+1)\log {\frac {m+1}{p(\mu +1)}}$.

(12)

En considérant $k$ comme une quantité positive, il faudra donc prendre ${\theta =k}$, lorsqu’on aura ${{\tfrac {q}{p}}>h}$, et ${\theta =-k}$, quand on aura ${{\tfrac {q}{p}}<h}$ ; par conséquent, d’après la transformation du numéro cité, nous aurons, dans le premier cas,

$\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx=\mathrm {H} \int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}{\frac {dx'}{dt}}\,dt$,

et, dans le second,

${\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx&=\mathrm {H} \int _{-k}^{\infty }e^{-t^{2}}{\frac {dx'}{dt}}\,dt\\&=\mathrm {H} \int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}{\frac {dx'}{dt}}\,dt-\mathrm {H} \int _{-\infty }^{-k}e^{-t^{2}}{\frac {dx'}{dt}}\,dt,\end{aligned}}$

en faisant, comme dans ce n^o 67,

${\frac {dx'}{dt}}=h'+2h''t+3h'''t^{2}+{\text{etc.}}$

On a d’ailleurs

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{-k}e^{-t^{2}}t^{2i+1}dt&=-\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i+1}dt,\\\int _{-\infty }^{-k}e^{-t^{2}}t^{2i}dt&=\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i}dt\;;\end{aligned}}$

$i$ étant un nombre entier et positif, ou zéro. Si donc on fait généralement

$\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i}dt=\mathrm {K} _{i}$,$\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}t^{2i+1}dt=\mathrm {K'} _{i}$,

et si l’on observe que ${\textstyle \mathrm {H} \int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}{\frac {dx'}{dt}}\,dt}$ est l’expression de ${\textstyle \int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx}$, il en résultera

${\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx&=\mathrm {H} (h'\mathrm {K} _{0}+3h'''\mathrm {K} _{1}+5h^{\text{V}}\mathrm {K} _{2}+{\text{etc.}})\\&{}+\mathrm {H} (2h''\mathrm {K} '_{0}+4h^{\text{IV}}\mathrm {K} '_{1}+6h^{\text{VI}}\mathrm {K} '_{2}+{\text{etc.}}),\end{aligned}}$

(13)

pour le cas de ${{\tfrac {q}{p}}>h}$, et

${\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx&=\int _{0}^{\infty }\mathrm {X} dx-\mathrm {H} (h'\mathrm {K} _{0}+3h'''\mathrm {K} _{1}+5h^{\text{V}}\mathrm {K} _{2}+{\text{etc.}})\\&\qquad +\mathrm {H} (2h''\mathrm {K} '_{0}+4h^{\text{IV}}\mathrm {K} '_{1}+6h^{\text{VI}}\mathrm {K} '_{2}+{\text{etc.}}),\end{aligned}}$

(14)

pour le cas de ${{\tfrac {q}{p}}<h}$.

Chacune des séries contenues dans ces formules aura, en général, le même degré de convergence que la série (11). Les valeurs des intégrales désignées par $\mathrm {K} _{i}$ ne pourront s’obtenir que par approximation, lorsque $k$ sera différent de zéro. Celles qui sont représentées par $\mathrm {K} '_{i}$ s’exprimeront toujours sous forme finie, et l’on aura

$\mathrm {K} '_{i}={\tfrac {1}{2}}e^{-k^{2}}\!(k^{2i}{+}i{.}k^{2i-2}{+}i{.}i{-}1{.}k^{2i-4}{+}\!\ldots \!{+}i{.}i{-}1\!\ldots \!2{.}k^{2}{+}i{.}i{-1}\!\ldots \!2{.}1)$.

Quand on aura ${\alpha =h}$, les formules (13) et (14) devront coïncider. En effet, on aura en même temps

${\frac {q}{p}}={\frac {n}{m+1}}$,$q={\frac {n}{\mu +1}}$,$p={\frac {m+1}{\mu +1}}$ ;

ce qui rendra nulle la valeur de $k$ tirée de l’équation (12). Il en résultera

${\begin{alignedat}{4}&\mathrm {K} _{0}&{}={}&{\frac {\sqrt {\pi }}{2}},&\quad &\mathrm {K} _{i}&{}={}&1\,{.}\,3\,{.}\,5\ldots 2i{-}1\,{.}\,{\frac {\sqrt {\pi }}{2^{i+1}}}\\&\mathrm {K} '_{0}&{}={}&{\frac {1}{2}},&\quad &\mathrm {K} '_{i}&{}={}&1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots i\,{.}\,{\frac {1}{2^{i+1}}}\;;\end{alignedat}}$

et d’après l’équation (11), les formules (13) et (14) se réduiront l’une et l’autre à

${\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\infty }\mathrm {X} dx&={\frac {\mathrm {H} {\sqrt {\pi }}}{2}}(h'+{\frac {1\,{.}\,3}{2}}h'''+{\frac {1\,{.}\,3\,{.}\,5}{4}}h^{\text{V}}+{\text{etc.}})\\&{}+\mathrm {H} \,(h''+1\,{.}\,2\,{.}\,h^{\text{IV}}+1\,{.}\,2\,{.}\,3\,{.}\,h^{\text{VI}}+{\text{etc.}}).\end{aligned}}$

(77). Nous supposerons actuellement les nombres $m$, $n$, $\mu$, assez grands pour qu’on puisse négliger dans ces différentes formules, les quantités $h'''$, $h^{\text{IV}}$, etc. D’après les valeurs de $h'$ et $h''$ données plus haut, on aura

${\frac {h''}{h'}}={\frac {(\mu +1+n){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {n\,(m+1)\,(\mu +1)}}}}$ ;

et au moyen de l’équation (10) et des formules (11), (13), (14), nous aurons

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {P} &={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {(\mu +n){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi \mu mn}}}}e^{-k^{2}},\\\mathrm {P} &=1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {(\mu +n){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi \mu mn}}}}e^{-k^{2}}\;;\end{aligned}}\right\rbrace$

(15)

la première ou la seconde de ces deux valeurs de $\mathrm {P}$ ayant lieu, selon que l’on a ${{\tfrac {q}{p}}>h}$ ou ${{\tfrac {q}{p}}<h}$, et $k$ étant une quantité positive, donnée par l’équation (12). Pour plus de simplicité, on a mis $\mu$ et $m$ au lieu de ${\mu +1}$ et ${m+1}$ dans les derniers termes de ces formules ; elles feront connaître, avec une approximation suffisante, la probabilité $\mathrm {P}$ qu’il s’agissait de déterminer.

Si $\mu$ est un nombre pair, que l’on fasse ${m=n={\tfrac {1}{2}}p}$, et qu’on suppose ${q>p}$, on aura

$h={\frac {\mu }{\mu +2}}$,${\frac {q}{p}}>h$.

Ce sera donc la première équation (15) qu’il faudra employer ; cette formule et l’équation (12) deviendront

${\begin{aligned}\mathrm {P} &={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\sqrt {\frac {2}{\pi \mu }}}e^{-k^{2}},\\k^{2}&={\frac {\mu }{2}}\log {\frac {\mu }{2q(\mu +1)}}+{\frac {\mu +2}{2}}\log {\frac {\mu +2}{2p(\mu +1)}}\;;\end{aligned}}$

et $\mathrm {P}$ exprimera la probabilité que dans un très grand nombre pair d’épreuves, l’événement F le plus probable n’arrivera cependant pas plus souvent que l’événement contraire E. En appelant $\mathrm {U}$ la probabilité qu’ils arriveront tous les deux le même nombre de fois, $\mathrm {P-U}$ sera la probabilité que F arrivera moins souvent que E. Dans le cas de ${p=q={\tfrac {1}{2}}}$, il est évident que $\mathrm {P-U}$ sera aussi la probabilité que E arrivera moins souvent que F ; le double de $\mathrm {P-U}$, ajouté à la probabilité $\mathrm {U}$, donnera donc la certitude, ou, autrement dit, $\mathrm {2P-U}$ sera l’unité ; d’où l’on conclut

$\mathrm {U} ={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi \mu }}}e^{-k^{2}}$ ;

et c’est, en effet, ce que l’on peut aisément vérifier.

En réduisant en série, on a

${\begin{aligned}\mu \log {\frac {\mu }{\mu +1}}&=-\mu \log {\left(1+{\frac {1}{\mu }}\right)}=-1+{\frac {1}{2\mu }}-{\text{etc.}},\\(\mu +2)\log {\frac {\mu +2}{\mu +1}}&=-(\mu +2)\log {\left(1-{\frac {1}{\mu +2}}\right)}=1+{\frac {1}{2(\mu +2)}}+{\text{etc.}},\end{aligned}}$

et, par conséquent,

$k^{2}={\frac {1}{4\mu }}+{\frac {1}{4(\mu +2)}}+{\text{etc.}}$ ;

donc en conservant seulement les termes du même ordre de petitesse que la fraction ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu }}}$, nous aurons

$k={\frac {1}{\sqrt {2\mu }}}$,$e^{-k^{2}}=1$.

Nous aurons, en même temps,

$\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}dt-\int _{0}^{k}e^{-t^{2}}dt={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-{\frac {1}{\sqrt {2\mu }}}$ ;

au moyen de quoi la valeur précédente de $\mathrm {U}$ se réduira à

$\mathrm {U} ={\sqrt {\frac {2}{\pi \mu }}}$ ;

ce qui coïncide, effectivement, avec celle que l’on déduit de la formule (6), dans le cas de ${m=n}$ et ${p=q}$.

Si $\mu$ est un nombre impair, que l’on fasse ${m={\tfrac {1}{2}}(\mu -1)}$ qu’on suppose toujours ${q>p}$, on aura encore ${{\tfrac {q}{p}}>h}$ ; la première formule (15) et l’équation (12) deviendront

${\begin{aligned}\mathrm {P} &={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\sqrt {\frac {2}{\pi \mu }}}e^{-k^{2}},\\k^{2}&={\frac {\mu -1}{2}}\log {\frac {\mu -1}{2q(\mu +1)}}+{\frac {\mu +3}{2}}\log {\frac {\mu +3}{2p(\mu +1)}}\;;\end{aligned}}$

et $\mathrm {P}$ sera la probabilité que dans un très grand nombre $\mu$ d’épreuves, l’événement le plus probable se présentera cependant le moins souvent ; car $\mu$ étant impair, le cas de l’égalité des arrivées de E et F sera impossible. Dans le cas de ${p=q={\tfrac {1}{2}}}$, cette probabilité $\mathrm {P}$ devra être égale à ${\tfrac {1}{2}}$ ; et c’est aussi ce que nous allons vérifier.

Nous aurons

${\begin{aligned}(\mu -1)\log {\frac {\mu -1}{\mu +1}}&=-(\mu -1)\log {\left(1+{\frac {2}{\mu -1}}\right)}=-2+{\frac {2}{\mu -1}}-{\text{etc.}},\\(\mu +3)\log {\frac {\mu +3}{\mu +1}}&=-(\mu +3)\log {\left(1-{\frac {2}{\mu +3}}\right)}=2+{\frac {2}{\mu +3}}+{\text{etc.}},\end{aligned}}$

et, par conséquent,

$k^{2}={\frac {1}{\mu -1}}+{\frac {1}{\mu +3}}+{\text{etc.}}$

En négligeant, comme plus haut, le terme de l’ordre de petitesse de la fraction ${\tfrac {1}{\mu }}$, il en résultera

$k={\frac {\sqrt {2}}{\mu }}$,$e^{-k^{2}}=1$,$\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-{\frac {\sqrt {2}}{\mu }}$ ;

ce qui réduit à ${\tfrac {1}{2}}$ la valeur précédente de $\mathrm {P}$.

(78). Supposons maintenant que le nombre $n$ diffère du produit ${(\mu +1)q}$, d’une quantité $\rho$, positive ou négative, mais très petite par rapport à ce produit. À cause de ${p+q=1}$ et ${m+n=\mu }$, on aura à la fois

$n=(\mu +1)q-\rho$,$m+1=(\mu +1)p+\rho$.

La valeur correspondante de $h$ sera

$h={\frac {(\mu +1)q-\rho }{(\mu +1)p+\rho }}$,

et, par conséquent, moindre que ${\tfrac {q}{p}}$, en regardant d’abord $\rho$ comme une quantité positive. Si l’on développe le second membre de l’équation (12) suivant les puissances de $\rho$, on trouve

$k^{2}={\frac {\rho ^{2}}{2\,(\mu +1)\,pq}}\left[1+{\frac {(p-q)\,\rho }{3\,(\mu +1)\,pq}}+{\text{etc.}}\right]$ ;

et, $r$ étant une quantité positive, si l’on fait

$\rho =r{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}$,

on en déduit

$k=r\left[1+{\frac {(p-q)\,r}{3{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}}}+{\text{etc.}}\right]$.

En excluant le cas où l’une des deux fractions $p$ et $q$ serait très petite, la série comprise entre les parenthèses, est très convergente, puisqu’elle procède suivant les puissances de ${\tfrac {r}{\sqrt {\mu +1}}}$, ou de ${\tfrac {\rho }{\mu +1}}$. En ne conservant seulement que les deux premiers termes, et faisant, pour abréger,

${\frac {(p-q)\,r^{2}}{3{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}}}=\delta$,

on aura simplement ${k=r+\delta }$. On aura, en même temps,

$n=(\mu +1)\,q-r\,{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}$ ;

mais dans le second terme de la première formule (15), il suffira de faire ${k=r}$, et d’y mettre $p\mu$ et $q\mu$, au lieu de $m$ et $n$ ; elle deviendra, de cette manière,

$\mathrm {P} ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{r+\delta }^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {(1+q){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi \mu pq}}}}e^{-r^{2}}$.

Considérons actuellement $\rho$ comme une quantité négative, auquel cas on aura ${h>{\tfrac {q}{p}}}$. En désignant par $r'$ une quantité positive, et prenant ${\textstyle -r'{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}}$ pour la valeur de $\rho$, celle de $n$ sera

$n=(\mu +1)\,q+r'{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}$ ;

mais la valeur de $k$ tirée de l’équation (12) devant toujours être positive, on aura ${k=r'-\delta '}$, en faisant, pour abréger,

${\frac {(p-q)\,r'^{2}}{3{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}}}=\delta '$,

la seconde formule (15), que l’on devra employer, deviendra

$\mathrm {P} =1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{r'-\delta '}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {(1+q){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi \mu pq}}}}e^{-r'^{2}}$.

Si l’on retranche de celle-ci, la précédente valeur de $\mathrm {P}$, et qu’on appelle $\mathrm {R}$ la différence, il vient

${\begin{aligned}\mathrm {R} =1&{}-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{r+\delta }^{\infty }e^{-t^{2}}dt-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{r'-\delta '}^{\infty }e^{-t^{2}}dt\\&{}+{\frac {(1+q){\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi \mu pq}}}}(e^{-r'^{2}}-e^{-r^{2}})\;;\end{aligned}}$

(16)

et d’après la signification de ces deux probabilités $\mathrm {P}$, il est aisé de voir que $\mathrm {R}$ sera la probabilité que l’événement F arrivera dans un très grand nombre $\mu$ d’épreuves, un nombre de fois qui n’excédera pas la seconde valeur de $n$, et surpassera la première au moins d’une unité, si elle est un nombre entier, et de moins d’une unité, si elle n’en est pas un.

(79). Pour simplifier ce résultat, soient $\mathrm {N}$ le plus grand nombre entier contenu dans $\mu q$, et $f$ l’excès de $\mu q$ sur $\mathrm {N}$ ; désignons par $u$, une quantité telle que ${u\,{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}}$ soit un nombre entier, très petit par rapport à $\mathrm {N}$ ; et faisons ensuite}}

${\begin{aligned}q+f-r\,{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}&=-u\,{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}-1,\\q+f-r'{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}&=u\,{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}.\end{aligned}}$

Les limites des valeurs de $n$ auxquelles se rapporte la probabilité $\mathrm {R}$, deviendront

$n=\mathrm {N} -u\,{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}-1$,$n=\mathrm {N} +u\,{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}$ ;

par conséquent, la formule (16) exprimera alors la probabilité que $n$ excédera au moins d’une unité cette première limite, et ne surpassera pas la seconde, c’est-à-dire la probabilité que ce nombre sera contenu entre les limites

$\mathrm {N} \mp u\,{\sqrt {2\mu pq}}$,

équidistantes de $\mathrm {N}$, et dans lesquelles on a mis $\mu$ au lieu de ${\mu +1}$, ou qu’il sera égal à l’une d’elles.

D’après les équations qu’on vient de poser, et les expressions de $\delta$ et $\delta '$, on aura

$r+\delta =u+\varepsilon +{\frac {1}{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}}$,$r'-\delta '=u-\varepsilon$ ;

$\varepsilon$ étant une quantité de l’ordre de petitesse de la fraction ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu }}}$. Or, en désignant par $v$ une quantité quelconque de cet ordre, dont on négligera le carré, on a

$\int _{u+v}^{\infty }e^{-t^{2}}dt=\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt-ve^{-u^{2}}$ ;

si donc on applique cette équation aux deux intégrales contenues dans la formule (16), et si l’on fait ${r'=r}$, dans les termes compris hors du signe $\textstyle \int$, qui sont déjà divisés par $\textstyle {\sqrt {\mu }}$, il en résultera

$\mathrm {R} =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \mu pq}}}e^{-u^{2}}$,

(17)

où l’on a aussi mis, dans le dernier terme, $\mu$ au lieu de ${\mu +1}$.

Si l’on eût voulu que l’intervalle des valeurs de $n$ dont la probabilité est $\mathrm {R}$, ne comprît pas sa limite inférieure, il aurait fallu augmenter d’une unité la plus petite des deux valeurs précédentes de $n$ ; ce qui aurait fait disparaître le dernier terme ${\tfrac {1}{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}}$ de la valeur de ${r+\delta }$, et, par suite, le dernier terme de la formule (17). De même, pour que cet intervalle ne comprît pas sa limite supérieure, on aurait dû diminuer d’une unité la plus grande de ces deux valeurs de $n$ ; ce qui aurait diminué de ${\tfrac {1}{\sqrt {2\,(\mu +1)\,pq}}}$ la valeur de ${r'-\delta '}$, et encore fait disparaître le dernier terme de cette formule (17). Enfin, on devrait changer le signe de ce terme, si l’on voulait que l’intervalle des valeurs de $n$ que nous considérons ne renfermât ni l’une, ni l’autre, de ses deux limites. Il suit de là que le dernier terme de la formule (17) doit être la probabilité que l’on ait précisément

$n=\mathrm {N} +u\,{\sqrt {2\mu pq}}$ ;

$u$ étant une quantité positive ou négative, telle que le second terme de $n$ soit très petit par rapport au premier. C’est aussi ce qui résulte de la formule (6).

En effet, en négligeant les quantités de l’ordre de petitesse de la fraction ${\tfrac {1}{\mu }}$, on aura

${\frac {n}{\mu }}=q+u{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}$,${\frac {m}{\mu }}=p-u{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}$ ;

d’où l’on conclut

$\log {\left({\frac {\mu q}{n}}\right)^{\!n}\left({\frac {\mu p}{m}}\right)^{\!m}}=-n\log {\!\left(1+{\frac {u}{q}}{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}\right)}-m\log {\!\left(1-{\frac {u}{p}}{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}\right)}$,

ou, ce qui est la même chose,

${\begin{aligned}\log \left({\frac {\mu q}{n}}\right)^{\!n}&\left({\frac {\mu p}{m}}\right)^{\!m}=-\mu q\log {\!\left(1+{\frac {u}{q}}{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}\right)}-\mu p\log {\!\left(1-{\frac {u}{p}}{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}\right)}\\&-u{\sqrt {2\mu pq}}\left[\log {\!\left(1+{\frac {u}{q}}{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}\right)}-\log {\!\left(1-{\frac {u}{q}}{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}\right)}\right]\;;\end{aligned}}$

or, en développant ces logarithmes, et négligeant toujours les termes de l’ordre de ${\tfrac {1}{\mu }}$, on trouve ${-u^{2}}$ pour la valeur du second membre de cette équation ; par conséquent, nous aurons

$\left({\frac {\mu q}{n}}\right)^{\!n}\left({\frac {\mu p}{m}}\right)^{\!m}=e^{-u^{2}}$ ;

et comme on a aussi, d’après les équations précédentes,

${\frac {mn}{\mu }}=\mu pq$,

la formule (6) deviendra

$\mathrm {U} ={\frac {e^{-u^{2}}}{\sqrt {2\pi \mu pq}}}$ ;

ce qu’il s’agissait de vérifier.

La première valeur de $\mathrm {P}$ du numéro précédent, étant la probabilité que le nombre $n$ ne surpassera pas la limite ${\mu q-r{\sqrt {2\mu pq}}}$, dans laquelle je mets $\mu$ au lieu de ${\mu +1}$, il s’ensuit que si l’on fait ${u=r}$ dans la valeur de $\mathrm {U}$ et qu’on la retranche ensuite de celle de $\mathrm {P}$, la différence $\mathrm {P-U}$ sera la probabilité que $n$ n’atteindra pas cette même limite. De même, si l’on fait ${u'=r'}$ dans la valeur de $\mathrm {U}$ et qu’on la retranche ensuite de la seconde valeur de $\mathrm {P}$ du numéro précédent, la différence $\mathrm {P-U}$ sera la probabilité que $n$ sera au-dessous de la limite ${\mu q+r'{\sqrt {2\mu pq}}}$. En appelant $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {Q'}$ ces différences, on trouve

$\left.{\begin{aligned}\mathrm {Q} ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}&\int _{r+\delta }^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {q-p}{3{\sqrt {2\pi \mu pq}}}}e^{-r^{2}},\\\mathrm {Q'} =1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}&\int _{r'-\delta '}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {q-p}{3{\sqrt {2\pi \mu pq}}}}e^{-r'^{2}}.\end{aligned}}\right\rbrace$

(18)

On se rappellera que, dans ces formules, $r$ et $r'$ sont des quantités positives, très petites par rapport à $\textstyle {\sqrt {\mu }}$ ; en sorte que les limites de $n$ auxquelles ces probabilités $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {Q'}$ se rapportent diffèrent peu du produit $\mu q$, l’une en plus et l’autre en moins. En même temps, les valeurs des quantités $\delta$ et $\delta '$ qu’elles renferment, seront très petites par rapport à $r$ et $r'$ ; et si l’on y met $\mu$ à la place de ${\mu +1}$, on aura

$\delta ={\frac {(p-q)\,r^{2}}{3{\sqrt {2\pi \mu pq}}}}$,$\delta '={\frac {(p-q)\,r'^{2}}{3{\sqrt {2\pi \mu pq}}}}$.

(80). En divisant par $\mu$ les limites de $n$ auxquelles se rapporte la formule (17), et ayant égard à ce que $\mathrm {U}$ représente, on aura ${\textstyle q-{\frac {f}{\mu }}\mp {\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}}$ pour les limites du rapport ${\tfrac {n}{\mu }}$, dont la probabilité est $\mathrm {R}$. Si donc, on néglige la fraction ${\tfrac {f}{\mu }}$, il en résultera que cette quantité $\mathrm {R}$, déterminée par la formule (17), est la probabilité que la différence ${{\tfrac {n}{\mu }}-q}$, se trouvera comprise entre les deux limites

$\mp \,u\,{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}$,

qui seront aussi, en changeant leurs signes, avec la même probabilité, celles de la différence ${{\tfrac {m}{\mu }}-p}$, puisque la somme ${{\tfrac {m+n}{\mu }}-p-q}$ de ces deux différences, est égale à zéro.

On pourra toujours prendre $u$ assez grand pour que cette probabilité $\mathrm {R}$ diffère aussi peu qu’on voudra de la certitude. Il ne sera pas même nécessaire de donner à à $u$ une grande valeur pour rendre très petite la différence ${1-\mathrm {R} }$ : il suffira, par exemple de prendre $u$ égal à quatre ou cinq, pour que l’exponentielle $e^{-u^{2}}$, l’intégrale ${\textstyle \int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt}$, et par suite la valeur de ${1-\mathrm {R} }$, soient presque insensibles. La quantité $u$ ayant reçu une pareille valeur et demeurant constante, les limites de la différence ${{\tfrac {m}{\mu }}-p}$ se resserreront de plus en plus à mesure que le nombre $\mu$, qu’on suppose déjà très grand, augmentera encore davantage ; le rapport ${\tfrac {m}{\mu }}$ du nombre de fois que E arrivera au nombre total des épreuves, différera donc de moins en moins de la chance $p$ de cet événement ; et l’on pourra toujours multiplier assez le nombre $\mu$ des épreuves, pour qu’il y ait la probabilité $\mathrm {R}$ que la différence ${{\tfrac {m}{\mu }}-p}$ sera aussi petite qu’on voudra. Réciproquement, en augmentant continuellement le nombre $\mu$, si l’on prend pour chacune des limites précédentes, une grandeur constante et donnée $l$, c’est-à-dire, si l’on fait croître $u$ dans le même rapport que ${\sqrt {\mu }}$, la valeur de $\mathrm {R}$ approchera indéfiniment de l’unité ; en sorte qu’on pourra toujours augmenter assez le nombre $\mu$ des épreuves, pour qu’il y ait une probabilité aussi peu différente qu’on voudra de la certitude, que la différence ${{\tfrac {m}{\mu }}-p}$ tombera entre les limites données ${\pm l}$. C’est en cela que consiste le théorème de Jacques Bernouilli, énoncé dans le n^o 49.

(81). Dans le calcul précédent, nous avons exclu (n^o 78) le cas où l’une des deux chances $p$ et $q$ est très petite, qui nous reste, en conséquence, à considérer en particulier.

Je suppose que $q$ soit une très petite fraction, ou que ce soit l’événement F qui ait une très faible probabilité. Dans un très grand nombre $\mu$ d’épreuves, le rapport ${\tfrac {n}{\mu }}$ du nombre de fois que F arrivera à ce nombre $\mu$ sera aussi une très petite fraction ; en mettant ${\mu -n}$ a la place de $m$ dans la formule (9), faisant

$q\mu =\omega$,$q={\frac {\omega }{\mu }}$,

et négligeant ensuite la fraction ${\frac {n}{\mu }}$, la quantité contenue entre les parenthèses, dans cette formule, deviendra

$1+\omega +{\frac {\omega ^{2}}{1\,{.}\,2}}+{\frac {\omega ^{3}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}+\ldots +{\frac {\omega ^{n}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}$.

En même temps, on aura

$p=1-{\frac {\omega }{\mu }}$,$p^{m}=\left(1-{\frac {\omega }{\mu }}\right)^{\!\mu }\left(1-{\frac {\omega }{\mu }}\right)^{\!-n}$ ;

on pourra remplacer par l’exponentielle $e^{-\omega }$, le premier facteur de cette valeur de $p^{m}$, et réduire le second à l’unité ; par conséquent, d’après l’équation (9), nous aurons, à très peu près,

$\mathrm {P} =\left(1+\omega +{\frac {\omega ^{2}}{1\,{.}\,2}}+{\frac {\omega ^{3}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3}}+\ldots +{\frac {\omega ^{n}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}}\right)e^{-\omega }$,

pour la probabilité qu’un événement dont la chance à chaque épreuve est la fraction très petite ${\tfrac {\omega }{\mu }}$, n’arrivera pas plus de $n$ fois dans un très grand nombre $\mu$ d’épreuves.

Dans le cas de ${n=0}$, cette valeur de $\mathrm {P}$ se réduit à $e^{-\omega }$ ; il y a donc cette probabilité $e^{-\omega }$ que l’événement dont il s’agit n’arrivera pas une seule fois dans le nombre $\mu$ d’épreuves, et conséquemment, la probabilité ${1-e^{-\omega }}$ qu’il arrivera au moins une fois, ainsi qu’on l’a déjà vu dans le n^o 8. Dès que $n$ ne sera plus un très petit nombre, la valeur de $\mathrm {P}$ différera très peu de l’unité, comme on le voit, en observant que l’expression précédente de $\mathrm {P}$ peut être écrite sous la forme

$\mathrm {P} =1-{\frac {\omega ^{n+1}e^{-\omega }}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n+1}}\left(1+{\frac {\omega }{n+2}}+{\frac {\omega ^{2}}{n+2\,{.}\,n+3}}+{\text{etc.}}\right)$.

Si l’on a, pas exemple, ${\omega =1}$, et qu’on suppose ${n=10}$, la différence ${1-\mathrm {P} }$ sera à peu près un cent-millionième, de sorte qu’il est presque certain qu’un événement dont la chance très faible est ${\frac {1}{\mu }}$ à chaque épreuve, n’arrivera pas plus de dix fois, dans le nombre $\mu$ d’épreuves.

(82). L’intégrale contenue dans la formule (17) se calculera, en général, par la méthode des quadratures. On trouve à la fin de l’Analyse des réfractions astronomiques de Kramp, une table de ses valeurs qui s’étend depuis ${u=0}$, jusqu’à ${u=3}$, et d’après laquelle, on a

$\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt=$ 0,00001957729…,

pour ${u=3}$. Au moyen de l’intégration par partie, on trouve

$\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt={\frac {e^{-u^{2}}}{2u}}\left(1-{\frac {1}{2u^{2}}}+{\frac {1\,{.}\,3}{2^{2}u^{4}}}-{\frac {1\,{.}\,3\,{.}\,5}{2^{3}u^{6}}}+{\text{etc.}}\right)$ ;

pour ${u>3}$, la série comprise entre les parenthèses, sera suffisamment convergente, du moins dans ses premiers termes, et cette formule pourra servir à calculer les valeurs de l’intégrale. On a aussi

$\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}-\int _{0}^{u}e^{-t^{2}}dt$ ;

et en développant l’exponentielle $e^{-t^{2}}$ suivant les puissances de $t^{2}$, on aura

$\int _{0}^{u}e^{-t^{2}}dt=u-{\frac {u^{3}}{1\,{.}\,3}}+{\frac {u^{5}}{1\,{.}\,2\,{.}\,5}}-{\frac {u^{7}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\,{.}\,7}}+{\text{etc.}}$ ;

série qui sera très convergente pour les valeurs de $u$ moindres que l’unité.

Si l’on veut calculer la valeur de $u$ pour laquelle on a ${\mathrm {R} ={\tfrac {1}{2}}}$, on fera usage de cette dernière série ; et d’après l’équation (17) on aura

$u-{\frac {u^{3}}{1\,{.}\,3}}+{\frac {u^{5}}{1\,{.}\,2\,{.}\,5}}-{\frac {u^{7}}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\,{.}\,7}}+{\text{etc.}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\pi }}-{\frac {e^{-u^{2}}}{2{\sqrt {2\mu pq}}}}$.

En désignant par $a$ la valeur de $u$ qui satisfait à cette équation, abstraction faite du deuxième terme de son second membre, nous aurons ensuite

$u=a-{\frac {1}{2{\sqrt {2\mu pq}}}}$,

aux quantités près de l’ordre de petitesse de ${\tfrac {1}{\mu }}$. Après quelques essais, on trouve ${a=0{,}4765}$ pour la valeur approchée de $a$ ; d’où il résulte qu’il sera également probable que la différence ${{\tfrac {m}{\mu }}-p}$ tombera en dehors ou en dedans des limites

$\pm \left(0{,}4765\,{.}\,{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}-{\frac {1}{2\mu }}\right)$.

Pour une valeur quelconque de $u$, il y a la probabilité $\mathrm {R}$ que la différence des deux quantités ${{\tfrac {m}{\mu }}-p}$ et ${{\tfrac {n}{\mu }}-q}$, aura pour limite le double de ${\textstyle \pm u{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}}$ ; si donc on a ${p=q={\tfrac {1}{2}}}$, il y aura une probabilité égale à ${\tfrac {1}{2}}$ que la quantité ${\tfrac {m-n}{\mu }}$, sera comprise entre les limites

$\pm \left({\frac {0{,}6739}{\sqrt {\mu }}}-{\frac {1}{\mu }}\right)$ ;

par conséquent, lorsque les événements E et F ont la même chance, il sera également probable que la différence ${m-n}$ entre les nombres de fois qu’ils arriveront, surpassera ${\textstyle 0{,}6739\,{.}\,{\sqrt {\mu }}-1}$, ou sera moindre, abstraction faite du signe.

Ainsi, quand deux joueurs A et B jouent l’un contre l’autre à jeu égal, un très grand nombre de parties, un million par exemple, il y a un contre un à parier que l’un d’eux, sans dire lequel, gagnera 674 parties de plus que l’autre. C’est dans cette différence qui peut également favoriser les deux joueurs, que consiste la part du hasard. Mais si, à chaque partie, la chance $p$ de A surpasse la chance $q$ de B, il y aura une probabilité $\mathrm {R}$, toujours croissante avec le nombre $\mu$, que A gagnera de plus que B, un nombre ${\textstyle \mu \,(p-q)\pm 2u{\sqrt {2\mu pq}}}$ ; et comme le terme ${\mu \,(p-q)}$, qui résulte de la différence d’habileté des deux joueurs, croît proportionnellement au nombre des parties, tandis que le terme ambigu croît seulement dans le rapport de la racine carrée de ce nombre, il s’ensuit que le joueur le plus habile, ou qui a le plus de chance à chaque partie, finira toujours par l’emporter sur l’autre, quelque petite que soit la différence ${p-q}$.

(83). Dans ce qui précède, nous avons supposé connues les chances $p$ et $q$ des événements E et F, et nous avons déterminé, avec une grande probabilité et une grande approximation, les rapports ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$, quand le nombre $\mu$ des épreuves est très grand. Réciproquement, lorsque ces chances ne seront pas données à priori, et que les rapports ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$ auront été observés, les formules que nous avons trouvées feront connaître les valeurs très probables et très approchées des inconnues $p$ et $q$. Ainsi, il y aura la probabilité $\mathrm {R}$, donnée par la formule (17), que la chance $p$ de E est comprise entre les limites ${\textstyle {\frac {m}{\mu }}\pm u{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}}$. Si $\mathrm {R}$ diffère très peu de l’unité, la fraction $p$ sera donc à très peu près et très probablement égale à ${\tfrac {m}{\mu }}$, et $q$ à ${\tfrac {n}{\mu }}$ ; en mettant donc ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$ à la place de $p$ et $q$ dans le terme ambigu de ces limites et dans le dernier terme de la formule (17), qui ont déjà ${\textstyle {\sqrt {\mu }}}$ pour diviseur, il en résultera

$\mathrm {R} =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\sqrt {\frac {\mu }{2\pi mn}}}e^{-u^{2}}$,

(19)

pour la probabilité que la chance $p$ de E est comprise entre les limites

${\frac {m}{\mu }}\pm {\frac {u}{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}$.

Lorsque $m$, $n$, $\mu$, seront de très grands nombres, on pourra, en général, se servir des valeurs approchées ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$ de $p$ et $q$, pour calculer la probabilité d’un événement futur, composé de E et F ; par exemple, la probabilité de l’arrivée $m'$ fois de E et $n'$ fois de F, dans un nombre ${\mu '}$ ou ${m'+n'}$ de nouvelles épreuves, pourvu que $\mu '$ soit très petit par rapport à $\mu$ ; et cela étant, si $\mu '$ est néanmoins un très grand nombre, on pourra employer la formule (17) : en mettant $\mu '$, ${\tfrac {m}{\mu }}$, ${\tfrac {n}{\mu }}$, au lieu de $\mu$, $p$, $q$, dans cette formule et dans les limites auxquelles elle se rapporte, elle deviendra

$\mathrm {R} =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {\mu }{\sqrt {2\pi \mu 'mn}}}e^{-u^{2}}$,

(20)

et elle exprimera la probabilité que le nombre $n'$ sera compris entre les limites

${\frac {\mu 'n}{\mu }}\mp {\frac {u}{\mu }}{\sqrt {2\mu 'mn}}$,

où l’on a mis ${\tfrac {\mu 'n}{\mu }}$ au lieu du plus grand nombre entier contenu dans ce rapport. Quelque approchées que soient ces valeurs ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$ de $p$ et $q$, comme elles ne sont que probables et non pas certaines, on n’en pourra plus faire usage, ainsi qu’on l’a vu précédemment (n^o 71), quand le nombre $\mu '$ des épreuves futures aura une grandeur comparable à celle du nombre $\mu$. C’est pourquoi, nous allons considérer d’une autre manière la question des chances $p$ et $q$ de E et F, déduites des événements observés, et appliquées ensuite à la probabilité des événements futurs.

(84). On suppose toujours que l’événement observé soit l’arrivée $m$ fois de E et $n$ fois de F, dans un très grand nombre $\mu$ ou ${m+n}$ d’épreuves, pendant lesquelles les chances $p$ et $q$ de E et F n’ont pas varié. Il y aura alors, d’après ce qui précède, une très grande probabilité que ces chances inconnues différaient très peu des rapports ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$ que l’on pourra prendre, en conséquence, pour les valeurs approchées de $p$ et $q$. Ces chances étant d’ailleurs susceptibles d’une infinité de valeurs croissantes par degrés infiniment petits, la probabilité d’une valeur exacte de $p$ et de la valeur correspondante de $q$ sera une quantité infiniment petite, qu’il s’agira de déterminer, du moins pour chacune des valeurs de $p$ et $q$, qui s’écartent peu de ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$ et que nous aurons seulement besoin de connaître.

La quantité $\mathrm {Q}$, déterminée par la première formule (18), étant la probabilité que le nombre $n$ est inférieur à ${\textstyle \mu q-r{\sqrt {2\mu pq}}}$, elle est également la probabilité que la chance inconnue $q$ de l’événement F, arrivé $n$ fois dans $\mu$ épreuves, est supérieure à ${\textstyle {\frac {n}{\mu }}+r{\sqrt {\frac {2pq}{\mu }}}}$, ou bien à ${\textstyle {\frac {n}{\mu }}+{\frac {r}{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}}$, en substituant dans le second terme de cette limite, à la place de $p$ et $q$, leurs valeurs approchées ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$. Si l’on met ${r-dr}$ au lieu de $r$ dans cette formule, et que l’on conserve seulement les infiniment petits du premier ordre, ${\mathrm {Q} -{\tfrac {d\mathrm {Q} }{dr}}dr}$ sera donc aussi la probabilité que $q$ surpasse ${\textstyle {\frac {n}{\mu }}+{\frac {r}{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}-{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}{\frac {dr}{\mu }}}$ ; par conséquent, ${-{\tfrac {d\mathrm {Q} }{dr}}}$ exprimera la probabilité infiniment petite que l’on a précisément

$q={\frac {n}{\mu }}+{\frac {r}{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}$,

pour toutes les valeurs de $r$ positives et très petites par rapport à ${\textstyle {\sqrt {\mu }}}$, comme le suppose l’expression de $\mathrm {Q}$. De même, la seconde formule (18) exprimera la probabilité $\mathrm {Q'}$ que la chance $q$ est supérieure à ${\textstyle {\frac {n}{\mu }}-{\frac {r'}{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}}$ ; en y mettant ${r'+dr'}$ au lieu de $r'$, on aura donc ${\mathrm {Q'} +{\tfrac {d\mathrm {Q'} }{dr'}}dr'}$ pour la probabilité que la valeur de $q$ surpasse ${\textstyle {\frac {n}{\mu }}-{\frac {r'}{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}-{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}{\frac {dr'}{\mu }}}$ ; par conséquent, ${{\tfrac {d\mathrm {Q'} }{dr'}}dr'}$ sera la probabilité que $q$ est supérieure à la seconde limite sans l’être à la première, ou que l’on a précisément

$q={\frac {n}{\mu }}-{\frac {r'}{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}$ ;

$r'$ étant aussi une quantité positive et très petite par rapport à $\textstyle {\sqrt {\mu }}$. Mais par les règles connues de la différentiation sous le signe $\textstyle \int$, et en substituant ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$ à la place de $p$ et $q$ dans les derniers termes des formules (18), on a

${\begin{alignedat}{3}-{\frac {d\mathrm {Q} }{dr}}&{}={}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\left(1+{\frac {d{.}\delta }{dr}}\right)&&e^{-(r+\delta )^{2}}&{}+{}&{\frac {2\,(n-m)\,r}{3\,{\sqrt {2\pi \mu mn}}}}e^{-r^{2}},\\{\frac {d\mathrm {Q'} }{dr'}}&{}={}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\left(1-{\frac {d{.}\delta '}{dr'}}\right)&&e^{-(r'-\delta ')^{2}}&{}-{}&{\frac {2\,(n-m)\,r'}{3\,{\sqrt {2\pi \mu mn}}}}e^{-r'^{2}}.\end{alignedat}}$

D’après les valeurs de $\delta$ et $\delta '$, et en y faisant les mêmes substitutions, on a aussi

${\frac {d{.}\delta }{dr}}={\frac {2\,(n-m)\,r}{3\,{\sqrt {2\pi \mu mn}}}}$,${\frac {d{.}\delta '}{dr'}}={\frac {2\,(m-n)\,r'}{3\,{\sqrt {2\pi \mu mn}}}}$ ;

d’ailleurs, en bornant, comme précédemment, l’approximation aux termes de l’ordre de petitesse de la fraction ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu }}}$, et négligeant, en conséquence, ceux qui ont $\mu$ pour diviseur, nous aurons

${\begin{alignedat}{3}&e^{-(r+\delta )^{2}}&{}={}&(1-2r\delta )e^{-r^{2}}&{}={}&\left[1-{\frac {2\,(m-n)\,r^{3}}{3\,{\sqrt {2\pi \mu mn}}}}\right]e^{-r^{2}},\\&e^{-(r'-\delta ')^{2}}&{}={}&(1-2r'\delta ')e^{-r'^{2}}&{}={}&\left[1+{\frac {2\,(m-n)\,r'^{3}}{3\,{\sqrt {2\pi \mu mn}}}}\right]e^{-r'^{2}}\;;\end{alignedat}}$

et de ces diverses valeurs, nous déduirons

${\begin{alignedat}{2}-{\frac {d\mathrm {Q} }{dr}}&{}={}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-r^{2}}&{}-{}&{\frac {2\,(m-n)\,r^{3}}{3{\sqrt {2\pi \mu mn}}}}e^{-r^{2}},\\{\frac {d\mathrm {Q'} }{dr'}}&{}={}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-r'^{2}}&{}+{}&{\frac {2\,(m-n)\,r'^{3}}{3{\sqrt {2\pi \mu mn}}}}e^{-r'^{2}}\;;\\\end{alignedat}}$

Or, ces deux expressions ayant la même forme, et se changeant l’une dans l’autre par l’échange de $r$ et ${-r'}$, il s’ensuit que si l’on désigne par $v$ une variable positive ou négative, mais très petite par rapport à $\textstyle {\sqrt {\mu }}$, et qu’on fasse

$\mathrm {V} ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-v^{2}}-{\frac {2\,(m-n)\,v^{3}}{3{\sqrt {2\pi \mu mn}}}}e^{-v^{2}}$,

(21)

on aura ${\mathrm {V} dv}$ pour la probabilité de

$q={\frac {n}{\mu }}+{\frac {v}{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}$ ;

à cause de ${p=1-q}$ et ${m=\mu -n}$, cette probabilité infiniment petite sera, en même temps, celle de

$p={\frac {m}{\mu }}-{\frac {v}{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}$.

Cette quantité $\mathrm {V}$ décroît, comme on voit, très rapidement à mesure que $v$ augmente ; et avant que cette variable ait acquis une grandeur comparable à $\textstyle {\sqrt {\mu }}$, celle de $\mathrm {V}$ peut être extrêmement petite à raison du facteur $\textstyle e^{-v^{2}}$. Si l’on exprime de la même manière au moyen de cette variable, les valeurs de $p$ et $q$ très différentes de ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$, et que l’on représente par ${\mathrm {V'} dv}$ leur probabilité ; $\mathrm {V'}$ sera une fonction de $v$, différente de $\mathrm {V}$, dont les valeurs numériques seront encore beaucoup moindres que celles de $\mathrm {V}$ qui répondent à la limite où peut s’étendre la formule (21). On pourra donc regarder ces valeurs de $\mathrm {V'}$ comme étant tout-à-fait insensibles ; ce qui nous dispensera de chercher l’expression de cette quantité $\mathrm {V'}$ en fonction de $v$.

Cela posé, soit E′ un événement futur, composé de E et F ; désignons par $\Pi$ la probabilité de E′ qui aurait lieu si les chances de E et F avaient des valeurs certaines, de sorte que $\Pi$ soit une fonction donnée de $p$ et $q$ ; désignons aussi par $\Pi '$ la probabilité véritable de E′, en ayant égard à celle des valeurs quelconques de $p$ et $q$ que l’on substituera dans $\Pi$ : en multipliant $\Pi$ par cette probabilité infiniment petite de $p$ et $q$, et intégrant ensuite le produit depuis ${p=0}$ et ${q=1}$ jusqu’à ${p=1}$ et ${q=0}$, on aura l’expression de $\Pi '$. Mais, d’après ce qu’on vient de dire, on pourra négliger la partie de cette intégrale qui répond aux valeurs de $p$ et $q$ qui s’écartent beaucoup de ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$ ; par conséquent, si l’on met dans $\Pi$ les valeurs précédentes de $p$ et $q$, on aura simplement

$\Pi '=\textstyle \int \Pi \mathrm {V} dv$,

(22)

en étendant l’intégrale aux valeurs positives ou négatives de $v$, mais très petites par rapport à $\textstyle {\sqrt {\mu }}$.

Ce résultat s’accorde avec celui qui a été obtenu plus directement, dans le second paragraphe de mon mémoire sur la proportion des naissances des deux sexes.

(85). Pour donner une première application des formules (21) et (22), je suppose que $\Pi '$ soit la probabilité que dans un très grand nombre $\mu '$ ou ${m'+n'}$ de nouvelles épreuves, les événements E et F auront lieu des nombres de fois $m'$ et $n'$ qui seront entre eux, à très peu près, comme les nombres de fois $m$ et $n$ qu’ils sont arrivés dans les $\mu$ épreuves déjà faites ; ou, autrement dit, je suppose qu’on doive avoir

$m'=mh-\alpha {\sqrt {\mu '}}$,$n'=nh+\alpha {\sqrt {\mu '}}$,$\mu '=\mu h$ ;

$h$ et $\alpha$ étant des quantités données, dont la seconde pourra être positive ou négative, mais sera très petite par rapport à $\textstyle {\sqrt {\mu '}}$.

D’après la formule (6), et en faisant

$\mathrm {U'} ={\sqrt {\frac {\mu '}{2\pi m'n'}}}$,

nous aurons

$\Pi =\mathrm {U'} \,\left({\frac {\mu 'p}{m'}}\right)^{\!m'}\left({\frac {\mu 'q}{n'}}\right)^{\!n'}$,

où l’on peut déjà remarquer que $\mathrm {U'}$ serait la probabilité de l’événement E′ que nous considérons, si ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {n}{\mu }}$ étaient les valeurs exactes et certaines des chances $p$ et $q$ de E et F, et que l’on eût ${\alpha =0}$. D’ailleurs, à cause de

${\frac {m'}{\mu '}}={\frac {m}{\mu }}-{\frac {\alpha }{\sqrt {\mu '}}}$,${\frac {n'}{\mu '}}={\frac {n}{\mu }}+{\frac {\alpha }{\sqrt {\mu '}}}$,

et, en faisant aussi

${\frac {\nu }{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}-{\frac {\alpha }{\sqrt {\mu '}}}=v_{\prime }$,

les valeurs de $p$ et $q$ du numéro précédent pourront s’écrire sous cette forme :

$p={\frac {m'}{\mu '}}-v_{\prime }$,$q={\frac {n'}{\mu '}}+v_{\prime }$.

En les substituant dans la valeur de $\Pi$, il vient

$\Pi =\mathrm {U'} \left(1-{\frac {\mu 'v_{\prime }}{m'}}\right)^{\!m'}\left(1+{\frac {\mu 'v_{\prime }}{n'}}\right)^{\!n'}$.

Les quantités ${\tfrac {\mu 'v_{\prime }}{m'}}$ et ${\tfrac {\mu 'v_{\prime }}{n'}}$ étant de l’ordre de petitesse de la fraction ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu }}}$ ou ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu '}}}$, on aura, en séries très convergentes,

${\begin{aligned}\log {\!\left(1-{\frac {\mu 'v_{\prime }}{m'}}\right)}&=-{\frac {\mu 'v_{\prime }}{m'}}-{\frac {\mu '^{2}v_{\prime }^{2}}{2m'^{2}}}-{\frac {\mu '^{3}v_{\prime }^{3}}{3m'^{3}}}-{\text{etc.}},\\\log {\!\left(1+{\frac {\mu 'v_{\prime }}{n'}}\right)}&={\frac {\mu 'v_{\prime }}{n'}}-{\frac {\mu '^{2}v_{\prime }^{2}}{2n'^{2}}}+{\frac {\mu '^{3}v_{\prime }^{3}}{3n'^{3}}}-{\text{etc.}}\;;\end{aligned}}$

d’où l’on déduit

${\begin{aligned}\left(1-{\frac {\mu 'v_{\prime }}{m'}}\right)^{\!m'}&=e^{-\mu 'v_{\prime }}e^{-{\frac {\mu '^{2}v_{\prime }^{2}}{2m'}}}e^{-{\frac {\mu '^{3}v_{\prime }^{3}}{3m'^{2}}}}{\text{etc.}},\\\left(1+{\frac {\mu 'v_{\prime }}{n'}}\right)^{\!n'}&=e^{\mu 'v_{\prime }}e^{-{\frac {\mu '^{2}v_{\prime }^{2}}{2n'}}}e^{\frac {\mu '^{3}v_{\prime }^{3}}{3n'^{2}}}{\text{etc.}}\end{aligned}}$

Mais à cause du facteur $\mathrm {U'}$ de $\Pi '$, qui est déjà de l’ordre de petitesse de ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu '}}}$, on pourra négliger les quantités de cet ordre dans les deux autres facteurs ; ce qui permettra de réduire toutes les exponentielles à l’unité, à partir de la troisième, dans chacun de ces deux produits. À ce degré d’approximation, on aura donc

$\Pi =\mathrm {U'} e^{-{\frac {\mu '^{3}v_{\prime }^{2}}{2m'n'}}}$.

Par la même raison, on pourra négliger le second terme de la formule (21) ; au moyen de quoi la formule (22) deviendra

$\Pi '={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\mathrm {U'} \int e^{-v^{2}-{\frac {\mu '^{3}v_{\prime }^{2}}{2m'n'}}}dv$.

Quoique cette intégrale ne doive s’étendre qu’à des valeurs de $v$ très petites par rapport à ${\sqrt {\mu }}$ ; si l’on observe qu’à raison du facteur exponentiel, le coefficient de $dv$ sous le signe $\textstyle \int$ devient tout à fait insensible pour les valeurs de $v$ comparables à $\textstyle {\sqrt {\mu }}$, on en conclura que sans altérer sensiblement cette intégrale, on peut l’étendre à de semblables valeurs de $v$, et la prendre, comme nous le ferons effectivement, depuis ${v=-\infty }$ jusqu’à ${v=\infty }$. Or, en mettant $mh$ et $nh$ au lieu de $m'$ et $n'$ dans la valeur de $v_{\prime }$, on a

$v^{2}+{\frac {\mu '^{3}v_{\prime }^{2}}{2m'n'}}=v^{2}(1+h)-{\frac {2v\sigma \mu '{\sqrt {h}}}{\sqrt {2m'n'}}}+{\frac {\alpha ^{2}\mu '^{2}}{2m'n'}}$ ;

cela étant, si l’on fait

$v{\sqrt {1+h}}-{\frac {\alpha \mu '{\sqrt {h}}}{\sqrt {2m'n'(1+h)}}}=x$,$dv={\frac {dx}{\sqrt {1+h}}}$,

les limites de l’intégrale relative à la nouvelle variable $x$ seront encore ${\pm \infty }$, et il en résultera

$\Pi '={\frac {1}{\sqrt {1+h}}}\mathrm {U'} e^{-{\frac {\alpha ^{2}\mu '^{2}}{2m'n'(1+h)}}}$,

(23)

pour la probabilité qu’il s’agissait de déterminer.

Dans le cas de ${\alpha =0}$, on aura simplement

$\Pi '={\frac {1}{\sqrt {1+h}}}\mathrm {U'}$ ;

ce qui coïncide, d’après ce que $\mathrm {U'}$ représente, avec le résultat qu’on a trouvé d’une autre manière dans le n^o 71.

(86). Pour le second exemple de l’application des formules (21) et (22), nous supposerons que $\Pi '$ soit la probabilité que la différence ${{\tfrac {n'}{\mu '}}-{\tfrac {n}{\mu }}}$ n’excédera pas la quantité ${\tfrac {\alpha }{\sqrt {\mu '}}}$ qu’elle devait atteindre dans l’exemple précédent.

La quantité $\Pi$ sera en fonction des chances $p$ et $q$ de E et F, la probabilité que dans les $\mu '$ épreuves futures, F n’arrivera pas plus d’un nombre $n'$ de fois, égal à ${\textstyle {\frac {n\mu '}{\mu }}+\alpha {\sqrt {\mu '}}}$ et que E aura lieu un nombre $m'$ de fois, au moins égal à ${\textstyle {\frac {m\mu '}{\mu }}-\alpha {\sqrt {\mu '}}}$. Sa valeur sera donc donnée par l’une ou l’autre des formules (15), en y mettant $\mu '$, $m'$, $n'$, au lieu de $\mu$, $m$, $n$. Pour ces valeurs extrêmes de $m'$ et $n'$, on aura

${\frac {n'}{m'+1}}={\frac {n}{m}}\left(1+{\frac {\alpha \mu ^{2}}{mn{\sqrt {\mu '}}}}\right)$,

en bornant toujours l’approximation aux quantités de l’ordre de petitesse de ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu }}}$, ou de ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu '}}}$. D’après les valeurs de $p$ et $q$ du numéro précédent, on aura, en même temps,

${\frac {q}{p}}={\frac {n}{m}}\left(1+v{\sqrt {\frac {2\mu }{mn}}}\right)$ ;

si donc on limite la variable $v$ de manière qu’on ait

$v<{\frac {\alpha \mu ^{2}}{\sqrt {2\mu \mu 'mn}}}$,

abstraction faite du signe, on aura ${\textstyle {\frac {q}{p}}<{\frac {n'}{m'+1}}}$, ou ${\textstyle {\frac {q}{p}}>{\frac {n'}{m'+1}}}$, selon que la constante $\alpha$ sera positive ou négative ; par conséquent,

dans le premier cas, nous aurons

$\Pi =1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {2(\mu '+n')}{3{\sqrt {2\pi \mu 'm'n'}}}}e^{-k^{2}}$,

en vertu de la seconde équation (15), et dans le second cas,

$\Pi ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {2(\mu '+n')}{3{\sqrt {2\pi \mu 'm'n'}}}}e^{-k^{2}}$,

en vertu de la première ; $k$ étant une quantité positive donnée par l’équation (12), ou dont le carré est

$k^{2}=n'\log {\frac {n'}{q(\mu '+1)}}+(m'+1)\log {\frac {m'+1}{p(\mu '+1)}}$.

Des valeurs extrêmes de $m'$ et $n'$, et de celles de $p$ et $q$, qui doivent être employées les unes et les autres dans ces formules, il résulte}}

$q={\frac {n'}{\mu '+1}}-v'$,$p={\frac {m'+1}{\mu '+1}}+v'$,

en faisant, pour abréger,

${\frac {\alpha }{\sqrt {\mu '}}}-{\frac {v{\sqrt {2mn}}}{\mu {\sqrt {\mu }}}}-{\frac {n'}{\mu '(\mu '+1)}}=v'$.

Cette quantité $v'$ sera de l’ordre de ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu '}}}$ ; on aura donc, en séries très convergentes,

${\begin{aligned}\log {q}&=\log {\frac {n'}{\mu '+1}}-{\frac {(\mu '+1)v'}{n'}}-{\frac {(\mu '+1)^{2}v'^{2}}{2n'^{2}}}-{\frac {(\mu '+1)v'^{3}}{3n'^{3}}}-{\text{etc.}},\\\log {p}&=\log {\frac {m'+1}{\mu '+1}}+{\frac {(\mu '+1)v'}{m'+1}}-{\frac {(\mu '+1)^{2}v'^{2}}{2(m'+1)^{2}}}+{\frac {(\mu '+1)v'^{3}}{3(m'+1)^{3}}}-{\text{etc.}}\;;\end{aligned}}$

d’où l’on déduit, au degré d’approximation où nous nous arrêtons,

$k^{2}={\frac {\mu '^{3}v'^{2}}{2m'n'}}-{\frac {(m'-n')\mu '^{4}v'^{3}}{3m'^{2}n'^{2}}}$,

et ensuite

$k=\pm k'\left[1-{\frac {2(m'-n')k'}{3{\sqrt {2\mu 'm'^{2}n'^{2}}}}}\right]$,

en ayant égard à la valeur de $v'$, et faisant, pour abréger,

${\frac {\alpha \mu '}{\sqrt {2m'n'}}}-{\frac {v\mu '{\sqrt {\mu 'mn}}}{\mu {\sqrt {\mu m'n'}}}}=k'$.

À cause de la limite qu’on vient d’assigner à $v$, cette quantité $k'$ sera de même signe que $\alpha$ ; pour que la valeur de $k$ soit positive, il faudra donc prendre le signe supérieur ou inférieur devant son expression, selon que $\alpha$ sera une quantité positive ou négative. Le second terme de cette valeur de $k$ sera aussi de l’ordre de petitesse de ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu }}}$ ou ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu '}}}$ ; par conséquent, nous aurons

$\int _{k}^{\infty }e^{-t^{2}}dt=\int _{\pm }^{\infty }e^{-t^{2}}dt\pm {\frac {2(m'-n')k'^{2}}{3{\sqrt {2\mu 'm'n'}}}}e^{-k'^{2}}$.

En même temps, les valeurs précédentes de $\Pi$ deviendront

${\begin{aligned}\Pi &=1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k'}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {2n'}{\sqrt {2\pi \mu 'm'n'}}}e^{-k^{2}},\\\Pi &={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-k'}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {2n'}{\sqrt {2\pi \mu 'm'n'}}}e^{-k^{2}}\;;\end{aligned}}$

et, en vertu des formules (21) et (22), les valeurs correspondantes de $\Pi '$ seront

${\begin{aligned}\Pi '&={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-v^{2}}dv-{\frac {1}{\pi }}\int _{k'}^{\infty }\!\!\!\!\int e^{-t^{2}-v^{2}}dtdv+{\frac {2n'}{\sqrt {2\pi \mu 'm'n'}}}\int e^{-k'^{2}-v'}dv\\&\qquad {}-{}{\frac {2(m-n)}{3{\sqrt {2\pi \mu mn}}}}\left(\int e^{-v^{2}}v^{3}dv-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{k'}^{\infty }\!\!\!\!\int e^{-t^{2}-v^{2}}v^{3}dtdv\right),\\\Pi '&={\frac {1}{\pi }}\int _{-k'}^{\infty }\!\!\int e^{-t^{2}-v^{2}}dtdv+{\frac {2n'}{\sqrt {2\pi \mu 'm'n'}}}\int e^{-k'^{2}-v^{2}}dv\\&\qquad \qquad {}-{}{\frac {2(m-n)}{3\pi {\sqrt {2\mu mn}}}}\int _{-k'}^{\infty }\!\!\int e^{-t^{2}-v^{2}}e^{-t^{2}-v^{2}}v^{3}dt{.}dv.\end{aligned}}$

Les exponentielles $e^{-v^{2}}$, $e^{-t^{2}-v^{2}}$, $e^{-k'^{2}-v^{2}}$, rendant insensibles les coefficients de $dv$ sous les signes $\textstyle \int$, au-delà de la limite assignée à $v$, il s’ensuit que sans altérer sensiblement les intégrales relatives à cette variable, on pourra les étendre, comme plus haut, depuis ${v=-\infty }$ jusqu’à ${v=\infty }$. Soit, en outre,

${\frac {\alpha \mu '}{\sqrt {2m'n'}}}=\pm \beta$,${\frac {\mu '{\sqrt {\mu 'mn}}}{\mu {\sqrt {\mu m'n'}}}}=\gamma$,$t=\theta \mp \gamma v$,$dt=d\theta$ ;

$\beta$ étant une quantité positive, et les signes supérieurs ou inférieurs ayant lieu selon que $\alpha$ sera une quantité positive ou négative. Dans la première expression de $\Pi '$, qui suppose $\alpha$ positive, on prendra donc

$k'=\beta -\gamma v$,$t=\theta -\gamma v$ ;

et les limites des intégrales relatives à la nouvelle variable $\theta$ seront ${\theta =\beta }$ et ${\theta =\infty }$. Dans la seconde expression de $\Pi '$, qui se rapporte au cas de $\alpha$ négative, on devra prendre

$k'=-\beta -\gamma v$,$t=\theta +\gamma v$ ;

et les limites de cette intégrale seront encore ${\theta =\beta }$ et ${\theta =\infty }$. De cette manière, on aura

${\begin{aligned}\Pi '&=1-{\frac {1}{\pi }}\int _{\beta }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\theta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}d\theta dv\\&\qquad +{\frac {2n'}{\sqrt {2\pi \mu 'm'n'}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\beta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}dv\\&\qquad +{\frac {2(m-n)}{3\pi {\sqrt {2\mu mn}}}}\int _{\beta }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\theta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}v^{3}d\theta dv,\\\Pi '&={\frac {1}{\pi }}\int _{\beta }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\theta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}d\theta dv\\&+{\frac {2n'}{\sqrt {2\pi \mu 'm'n'}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\beta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}dv\\&-{\frac {2(m-n)}{3\pi {\sqrt {2\mu mn}}}}\int _{\beta }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\theta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}v^{3}d\theta dv.\end{aligned}}$

Les intégrations relatives à $v$ s’effectueront sans difficulté, en sorte que la probabilité $\Pi '$ qu’il s’agissait de déterminer ne renfermera plus qu’une intégrale simple relative à $\theta$. À cause de

$\alpha =\pm {\frac {\beta {\sqrt {2m'n'}}}{\mu '}}$,

la première valeur de $\Pi '$ sera la probabilité que le nombre $n'$ n’excédera pas ${\textstyle {\frac {n\mu '}{\mu }}+\beta {\sqrt {\frac {2m'n'}{\mu '}}}}$, qui surpasse très peu ${\tfrac {n\mu '}{\mu }}$, et sa seconde valeur exprimera la probabilité que $n'$ n’excédera pas ${\textstyle {\frac {n\mu '}{\mu }}-\beta {\sqrt {\frac {2m'n'}{\mu '}}}}$, qui est un peu moindre que ${\tfrac {n\mu '}{\mu }}$.

(87). On peut remarquer qu’à raison des limites $\pm \infty$, relatives à $v$, les deux premières intégrales sont les mêmes dans les deux valeurs de $\Pi '$, et la troisième est la même au signe près. Il en résulte qu’en appelant $\varphi$ l’excès de la première valeur sur la seconde, on aura simplement

$\varphi =1-{\frac {2}{\pi }}\int _{\beta }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\theta ^{2}+2\gamma \theta v-(1+\gamma ^{2})v^{2}}d\theta dv$ ;

et cette quantité $\varphi$ sera la probabilité que le nombre $n'$ surpassera ${\textstyle {\frac {n\mu '}{\mu }}-\beta {\sqrt {\frac {2m'n'}{\mu '}}}}$, sans excéder ${\textstyle {\frac {n\mu '}{\mu }}+\beta {\sqrt {\frac {2m'n'}{\mu '}}}}$.

Si nous faisons

$v{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}-{\frac {\gamma \theta }{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}=z$,$dv={\frac {dz}{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}}$ ;

les limites relatives à la nouvelle variable $z$ seront toujours $\pm \infty$, et nous aurons

$\varphi =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi (1+\gamma ^{2})}}}\int _{\beta }^{\infty }e^{-{\frac {\theta ^{2}}{1+\gamma ^{2}}}}d\theta$,

ou, ce qui est la même chose,

$\varphi =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt$,

en faisant aussi

$\theta =t{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}$,$d\theta ={\sqrt {1+\gamma ^{2}}}dt$,$\beta =u{\sqrt {1+\gamma ^{2}}}$.

En ayant égard à la valeur de $\gamma$, on verra que $\varphi$ exprime actuellement la probabilité que $n'$ sera compris entre les limites

${\frac {n\mu '}{\mu }}\pm {\frac {u{\sqrt {2(\mu ^{3}m'n'+\mu '^{3}mn)}}}{\mu {\sqrt {\mu \mu '}}}}$,

ou égal à la limite supérieure. Si l’on veut que cet intervalle des valeurs de $n'$ contienne aussi la limite inférieure, il faudra ajouter à $\varphi$ la probabilité que $n'$ sera précisément égal à cette limite ; laquelle probabilité sera donnée par la formule (23), en y faisant

$\alpha {\sqrt {\mu '}}={\frac {u{\sqrt {2(\mu ^{3}m'n'+\mu '^{3}mn)}}}{\mu {\sqrt {\mu \mu '}}}}$.

De cette manière, si l’on désigne par $\varpi$ la probabilité que le nombre $n'$ tombera entre les deux limites précédentes, ou sera égal à l’une ou à l’autre, on aura

$\varpi =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {\sqrt {\mu \mu '}}{\sqrt {2\pi m'n'(\mu {+}\mu ')}}}e^{-{\frac {u^{2}(\mu ^{3}m'n'+\mu '^{3}mn)}{\mu ^{2}m'n'(\mu +\mu ')}}}$.

(24)

En comparant cette valeur de $\varpi$ à celle de $\mathrm {R}$ qui est donnée par la formule (20), on voit que ces deux probabilités ne diffèrent l’une de l’autre que par leurs derniers termes, et sont, en conséquence, à peu près égales. Mais quand le nombre $\mu '$ des épreuves futures n’est pas très petit par rapport au nombre $\mu$ des épreuves déjà faites, les termes ambigus des limites de $n'$ auxquelles répondent ces probabilités $\varpi$ et $\mathrm {R}$ ne sont pas les mêmes, et les limites dont $\varpi$ est la probabilité peuvent être beaucoup moins resserrées que celles dont la probabilité est $\mathrm {R}$.

En effet, si la probabilité $\varpi$ diffère peu de la certitude, on pourra, dans les limites auxquelles elle se rapporte, mettre pour $n'$ et $m'$ leurs valeurs approchées et très probables ${\tfrac {n\mu '}{\mu }}$ et ${\tfrac {m\mu '}{\mu }}$ ; ce qui changera ces limites en celles-ci :

${\frac {n\mu '}{\mu }}\mp {\frac {u}{\mu }}{\sqrt {2\mu 'mn(1+h)}}$ ;

$h$ étant le rapport de $\mu '$ à $\mu$. Or, en les comparant à celles du n^o 83, auxquelles répond la probabilité $\mathrm {R}$, on voit que pour une même valeur de $u$, elles sont plus étendues dans le rapport de ${\sqrt {1+h}}$ à l’unité. Pour les rendre aussi étroites que celles de ce numéro, il faudrait diminuer $u$ dans le rapport de l’unité à ${\sqrt {1+h}}$ ; ce qui diminuerait aussi leur probabilité et la rendrait moindre que $\mathrm {R}$. Quand $h$ sera une très petite fraction, les formules (20) et (24), coïncideront à très peu près, ainsi que les limites correspondantes des valeurs de $n'$. Ce résultat s’accorde avec celui que j’avais déjà trouvé d’une autre manière, dans le mémoire cité plus haut.

La formule (24) exprime aussi la probabilité que la différence ${{\tfrac {n'}{\mu '}}-{\tfrac {n}{\mu }}}$ sera comprise entre les limites

$\mp {\frac {u{\sqrt {2(\mu ^{3}m'n'+\mu '^{3}mn)}}}{\mu \mu '{\sqrt {\mu \mu '}}}}$,

ou égale à l’une d’elles, et qu’il en sera de même à l’égard de la différence ${{\tfrac {m'}{\mu '}}-{\tfrac {m}{\mu }}}$, en changeant leurs signes. Si donc on a pris pour $u$ un nombre tel que trois ou quatre, qui rende la probabilité $\varpi$ très approchante de la certitude (n^o 80), et si, néanmoins, l’observation donne pour ${{\tfrac {m'}{\mu '}}-{\tfrac {m}{\mu }}}$ ou ${{\tfrac {n'}{\mu '}}-{\tfrac {n}{\mu }}}$ des valeurs qui s’écartent notablement de ces limites, on sera fondé à en conclure, avec une très grande probabilité, que les chances inconnues des événements E et F ont changé, dans l’intervalle des deux séries d’épreuves, ou même pendant ces épreuves.

On peut remarquer que pour une même valeur de $u$, et, par conséquent, à égal degré de probabilité, les limites précédentes ont la plus grande amplitude, quand $\mu$ et $\mu '$ sont égaux, et la moindre, lorsque l’un de ces nombres est très grand par rapport à l’autre. Dans le cas de ${\mu '=\mu }$, on a aussi à très peu près ${m'=m}$ et ${n'=n}$ ; ce qui réduit le coefficient de $u$ à ${\tfrac {2{\sqrt {mn}}}{\mu {\sqrt {\mu }}}}$. Si, au contraire, $\mu '$ est très grand relativement à $\mu$ ; à cause de ${m'={\tfrac {m\mu '}{\mu }}}$ et ${n'={\tfrac {n\mu '}{\mu }}}$, à très peu près, ce coefficient se réduira à ${\tfrac {\sqrt {2mn}}{\mu {\sqrt {\mu }}}}$, et sera moindre que le précédent, dans le rapport de l’unité à $\textstyle {\sqrt {2}}$.

(88). Généralement, les deux événements contraires E et F, dont les chances inconnues sont $p$ et $q$, étant arrivés les nombres de fois $m$ et $n$ dans le très grand nombre $\mu$ d’épreuves ; si deux autres événements contraires E₁ et F₁, dont les chances également inconnues seront désignées par $p_{1}$ et $q_{1}$, ont eu lieu des nombres de fois $m_{1}$ et $n_{1}$ dans un très grand nombre $\mu _{1}$ ou ${m_{1}+n_{1}}$ d’épreuves, et si les rapports ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {m_{1}}{\mu _{1}}}$ diffèrent considérablement l’un de l’autre, ce qui aura lieu aussi, pour ${\tfrac {n}{\mu }}$ et ${\tfrac {n_{1}}{\mu _{1}}}$, on devra regarder comme certain, ou à très peu près, que les chances $p$ et $p_{1}$ sont inégales, ainsi que $q$ et $q_{1}$. Mais quand les différences ${{\tfrac {m}{\mu }}-{\tfrac {m_{1}}{\mu _{1}}}}$ et ${{\tfrac {n}{\mu }}-{\tfrac {n_{1}}{\mu _{1}}}}$, sont de petites fractions, il est possible que les chances $p$ et $p_{1}$, $q$ et $q_{1}$, ne soient pas sensiblement inégales, et que les différences observées proviennent de ce que, dans les deux séries de $\mu$ et $\mu _{1}$ épreuves, les événements ne sont point arrivés rigoureusement en proportion de leurs chances respectives : il sera donc utile de déterminer, comme nous allons le faire, la probabilité d’une inégalité entre les chances inconnues $p$ et $p_{1}$, $q$ et $q_{1}$, correspondante à des différences données, peu considérables, égales et de signes contraires, entre les rapports ${\tfrac {m}{\mu }}$ et ${\tfrac {m_{1}}{\mu _{1}}}$, ${\tfrac {n}{\mu }}$ et ${\tfrac {n_{1}}{\mu _{1}}}$.

Je désigne, comme dans le n^o 84, par

$p={\frac {m}{\mu }}-{\frac {v}{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}$,

une valeur de $p$ qui s’écarte peu de ${\tfrac {m}{\mu }}$, de sorte que $v$ soit une variable positive ou négative, mais très petite par rapport à ${\sqrt {\mu }}$. Soit de même

$p_{1}={\frac {m_{1}}{\mu _{1}}}-{\frac {v_{1}}{\mu _{1}}}{\sqrt {\frac {2m_{1}n_{1}}{\mu _{1}}}}$,

une valeur de $p_{1}$ peu différente de $p$, et dans laquelle la variable $v_{1}$, positive ou négative, est très petite par rapport à $\textstyle {\sqrt {\mu _{1}}}$. Supposons qu’on ait

${\frac {m_{1}}{\mu _{1}}}-{\frac {m}{\mu }}=\delta$ ;

$\delta$ étant une petite fraction, qui pourra aussi être positive ou négative. Nous aurons

$p_{1}-p=\delta +{\frac {v}{\mu }}{\sqrt {\frac {2mn}{\mu }}}-{\frac {v_{1}}{\mu _{1}}}{\sqrt {\frac {2m_{1}n_{1}}{\mu _{1}}}}$ ;

en désignant cette différence par $z$, on en déduira

$v_{1}=(\delta -z)\mu _{1}{\sqrt {\frac {\mu _{1}}{2m_{1}n_{1}}}}+{\frac {v\mu _{1}{\sqrt {\mu _{1}mn}}}{\mu {\sqrt {\mu m_{1}n_{1}}}}}$ ;

et si $\varepsilon$ est une petite fraction positive, et qu’il s’agisse de déterminer la probabilité que $p_{1}$ excédera $p$ d’une quantité au moins égale à $\varepsilon$, il ne faudra donner à la variable $z$ que des valeurs positives qui ne soient pas moindres que $\varepsilon$.

Cela posé, les probabilités infiniment petites des valeurs précédentes de $p$ et $p_{1}$, seront ${\mathrm {V} dv}$ et ${\mathrm {V} _{1}dv_{1}}$ ; le coefficient $\mathrm {V}$ étant donné par la formule (21), et $\mathrm {V} _{1}$ désignant ce que cette formule devient quand on y met $\mu _{1}$, $m_{1}$, $n_{1}$, $v_{1}$, au lieu de $\mu$, $m$, $n$, $v$. La probabilité du concours de ces deux valeurs sera le produit de ${\mathrm {V} dv}$ et ${\mathrm {V} _{1}dv_{1}}$ ; et si l’on appelle $\lambda$ la probabilité demandée, elle sera exprimée par une intégrale double, savoir :

$\lambda =\textstyle \iint \mathrm {VV} _{1}dvdv_{1}$.

Pour plus de simplicité je négligerai le second terme de la formule (21) ; et il en résultera

$\lambda ={\frac {1}{\pi }}\iint e^{-v^{2}-v_{1}^{2}}dvdv_{1}$.

Si l’on veut substituer, dans cette intégration, la variable $z$ à $v_{1}$, il faudra prendre pour $dv_{1}$ la différentielle de la valeur précédente de $v_{1}$, relative à $z$ ; et, la variable $v_{1}$ étant ici supposée croissante, il faudra, pour que $z$ le soit aussi, changer le signe de $dv_{1}$ ; en sorte que l’on aura

$dv_{1}={\frac {\mu _{1}{\sqrt {\mu _{1}}}}{\sqrt {2m_{1}n_{1}}}}dz$.

On aura, en outre

$v^{2}+v_{1}^{2}=v^{2}\left(1+{\frac {\mu _{1}^{3}mn}{\mu ^{3}m_{1}n_{1}}}\right)+{\frac {2v(\delta -z)\mu _{1}^{3}{\sqrt {mn}}}{m_{1}n_{1}\mu {\sqrt {2\mu }}}}+{\frac {(\delta -z)^{2}\mu _{1}^{2}}{2m_{1}n_{1}}}$.

L’intégrale relative à $v$ pourra s’étendre, comme dans les questions précédentes, depuis ${v=-\infty }$ jusqu’à ${v=\infty }$. En faisant

${\frac {v{\sqrt {\mu ^{3}m_{1}n_{1}+\mu _{1}^{3}mn}}}{\mu {\sqrt {\mu m_{1}n_{1}}}}}+{\frac {(\delta -z)\mu _{1}^{3}{\sqrt {mn}}}{{\sqrt {2m_{1}n_{1}}}{\sqrt {\mu ^{3}m_{1}n_{1}+\mu _{1}^{3}mn}}}}=x$,

$dv={\frac {\mu {\sqrt {\mu m_{1}n_{1}}}\,dx}{\sqrt {\mu ^{3}m_{1}n_{1}+\mu _{1}^{3}mn}}}$,

les limites relatives à la nouvelle variable $x$ seront encore ${\pm \infty }$ ; l’intégrale relative à $z$ ne devra s’étendre que depuis ${z=\varepsilon }$ jusqu’à ${z=+\infty }$ ; et comme on aura

$v^{2}+v_{1}^{2}={\frac {(\delta -z)\mu ^{3}\mu _{1}^{3}}{2(\mu ^{3}m_{1}n_{1}+\mu _{1}^{3}mn)}}+x^{2}$,$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x}dx={\sqrt {\pi }}$,

la valeur de $\lambda$ deviendra

$\lambda ={\frac {\mu \mu _{1}{\sqrt {\mu \mu _{1}}}}{\sqrt {2\pi (\mu ^{3}m_{1}n_{1}+\mu _{1}^{3}mn)}}}\int _{\varepsilon }^{\infty }e^{-{\frac {(z-\delta )^{2}\mu ^{3}\mu _{1}^{3}}{2(\mu ^{3}m_{1}n_{1}+\mu _{1}^{3}mn)}}}dz$.

Soit actuellement

${\frac {(z-\delta )\mu \mu _{1}{\sqrt {\mu \mu _{1}}}}{\sqrt {2(\mu ^{3}m_{1}n_{1}+\mu _{1}^{3}mn)}}}=t$,${\frac {\mu \mu _{1}{\sqrt {\mu \mu _{1}}}\,dz}{\sqrt {2(\mu ^{3}m_{1}n_{1}+\mu _{1}^{3}mn)}}}=dt$ ;

faisons aussi

${\frac {(\varepsilon -\delta )\mu \mu _{1}{\sqrt {\mu \mu _{1}}}}{\sqrt {2(\mu ^{3}m_{1}n_{1}+\mu _{1}^{3}mn)}}}=\pm u$ ;

(25)

$u$ étant une quantité positive, et en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur selon que l’on aura ${\varepsilon >\delta }$ ou ${\varepsilon <\delta }$. Les limites de l’intégrale relative à $t$ seront ${t=\pm u}$ et ${t=\infty }$ ; et si l’on observe que l’on a

$\int _{-u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}dt-\int _{-\infty }^{-u}e^{-t^{2}}dt={\sqrt {\pi }}-\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt$,

on en conclura finalement

$\lambda ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt$,$\lambda =1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt$ ;

(26)

la première valeur ayant lieu quand la différence ${\varepsilon -\delta }$ sera positive, et la seconde, lorsque cette différence est négative.

On doit observer qu’ayant négligé le second terme de la formule (21), la probabilité du cas où la différence ${p_{1}-p}$ serait précisément égale à $\varepsilon$ se trouve aussi négligée ; en sorte que $\lambda$ est la probabilité qu’on a ${p_{1}-p>\varepsilon }$, et non pas qu’on ait ${p_{1}-p>\varepsilon }$, ou ${p_{1}-p=\varepsilon }$. Dans le cas de ${\varepsilon =\delta }$, la quantité $u$ est nulle, et les deux valeurs de $\lambda$ sont ${\lambda ={\tfrac {1}{2}}}$, c’est-à-dire, qu’il y a un contre un à parier que $p_{1}$ excède $p$ d’une quantité plus grande que $\delta$.

Les formules (26) serviront aussi à calculer la probabilité que la chance inconnue $p_{1}$ surpasse une fraction donnée. Pour cela, je fais, dans l’équation (25),

$\mu =\infty$,${\frac {m}{\mu }}=\omega$,$\delta ={\frac {m_{1}}{\mu _{1}}}-\omega$ ;

ce qui la change en celle-ci

$u=\pm \left(\varepsilon +\omega -{\frac {m_{1}}{\mu _{1}}}\right){\frac {\mu _{1}{\sqrt {\mu _{1}}}}{\sqrt {2m_{1}n_{1}}}}$.

Mais le nombre $\mu$ étant supposé infini, la chance $p$ est certainement égale au rapport ${\tfrac {m}{\mu }}$ ou à la fraction $\omega$ ; par conséquent, $\lambda$ est alors la probabilité qu’on a ${p_{1}>\varepsilon +\omega }$. En prenant, pour plus de simplicité, $\varepsilon$ au lieu de ${\varepsilon +\omega }$, et mettant aussi $\mu$, $m$, $n$, à la place de $\mu _{1}$, $m_{1}$, $n_{1}$, on aura

$u=\pm \left(\omega -{\frac {m}{\mu }}\right){\frac {\mu {\sqrt {\mu }}}{\sqrt {2mn}}}$ ;

(27)

et selon que la différence ${\omega -{\tfrac {m}{\mu }}}$ sera positive ou négative, la première ou la seconde formule (26) exprimera la probabilité que la chance inconnue d’un événement arrivé $m$ fois, dans un très grand nombre $\mu$ ou ${m+n}$ d’épreuves, excède la fraction donnée $\omega$.

(89). Afin de donner une application numérique des diverses formules qu’on vient d’obtenir, je prendrai pour exemple l’expérience de Buffon qui nous a déjà servi dans le n^o 50.

L’événement E sera alors l’arrivée de croix, et F l’arrivée de pile, dans une longue série de projections d’une même pièce. D’après cette expérience, on a eu

$m=$ 2048,$n=$ 1992,$\mu =$ 4040,

pour les nombres de fois $m$ et $n$ que E et F sont arrivés dans le nombre $\mu$ d’épreuves successives. En substituant ces nombres dans la formule (19), et prenant ${u=2}$, on aura

${\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt=$ 0,00468,$\mathrm {R} =$ 0,99555.

On trouvera, en même temps,

0,50693 ∓ 0,02225,

pour les limites de la valeur de $p$, auxquelles cette formule se rapporte ; en sorte qu’il y a la probabilité 0,99555, ou à très peu près 224 à parier contre un, que la chance inconnue $p$ de l’arrivée de croix, est comprise entre 0,48468 et 0,52918. Si l’on veut connaître la probabilité qu’elle surpasse ${\tfrac {1}{2}}$, ou que la chance de croix est supérieure à celle de pile, on substituera les valeurs précédentes de $\mu$, $m$, $n$, dans la formule (27), et l’on y fera ${\omega ={\tfrac {1}{2}}}$ ; en prenant le signe inférieur, et par conséquent la seconde formule (26), on aura

$u=$ 0,66298,$\lambda =$ 0,81043,$1-\lambda =$ 0,18957 ;

ce qui montre qu’il n’y a pas tout-à-fait cinq contre un à parier que la chance de croix soit plus grande que ${\tfrac {1}{2}}$.

L’expérience dont nous nous occupons peut être divisée en deux parties, l’une composée de 2 048 épreuves, l’autre en contenant 1 992 ; dans la première partie, croix a eu lieu 1 061 fois et pile 987 fois ; dans la seconde partie, croix est arrivé 987 fois et pile 1 005 fois : or, d’après le résultat de l’expérience totale, et au moyen de la formule (24), on peut aussi calculer la probabilité que les nombres des arrivées de croix ou de pile ont dû être compris entre des limites données, dans les deux expériences partielles. Pour cela, on fera, dans cette formule et dans les limites auxquelles elle répond,

${\frac {m'}{\mu '}}={\frac {m}{\mu }}=$ 0,50693,${\frac {n'}{\mu '}}={\frac {n}{\mu }}=$ 0,49307 ;

c’est-à-dire que l’on y mettra pour les rapports ${\tfrac {m'}{\mu '}}$ et ${\tfrac {n'}{\mu '}}$, qui ne sont pas censés connus, leurs valeurs approchées, résultantes de l’expérience totale ; ce qui est permis, attendu que $m'$ et $n'$ n’entrent que dans des termes qui sont de l’ordre de petitesse de ${\tfrac {1}{\sqrt {\mu }}}$. On y mettra aussi pour $\mu$ le nombre total 4040. Relativement à la première partie de l’expérience, on aura, en outre,

$\mu '=$ 2048 ;

et si l’on prend, comme plus haut, ${u=2}$, on trouvera

$\omega =$ 0,99558,

pour la probabilité que le nombre $n'$ des arrivées de pile a dû être compris entre les limites

1001 ∓ 79 ;

ce qui a eu lieu effectivement, puisque pile s’est présenté 987 fois dans cette première partie.

Relativement à la seconde partie, on aura

$\mu '=$ 1992 ;

et en prenant toujours ${u=2}$, on trouvera

$\omega =$ 0,99560,

pour la probabilité que pile a dû arriver un nombre $n'$ de fois, compris entre les limites

982 ∓ 77 ;

qui renferment, en effet, le nombre de fois 1005 que pile est réellement arrivé. On néglige les fractions dans ces limites et dans les précédentes.

Supposons que l’on ne sache pas si la même pièce a été employée dans les deux parties de l’expérience, et que l’on demande, d’après leurs résultats, la probabilité $\lambda$ que la chance de croix, dans la première partie, excède d’une fraction donnée, la chance de croix, dans la seconde partie. On fera d’abord, dans l’équation (25),

$\mu \;=$ 1992,	$m\;=$ 987,	$n\;=$ 1005,
$\mu _{1}\!=$ 2048,	$m_{1}\!=$ 1061,	$n_{1}\!=$ 987,

et en outre

$\delta ={\frac {m_{1}}{\mu _{1}}}-{\frac {m}{\mu }}=$ 0,02257,

Cette équation deviendra

$u=\pm$ ($\varepsilon -$ 0,02257) (44,936),

Si l’on fait, par exemple, $\varepsilon =$ 0,02, il faudra prendre le signe inférieur, et faire usage de la seconde formule (26) ; on aura de cette manière

$u=$ 0,11553,$\lambda =$ 0,56589,$1-\lambda =$ 0,43411 ;

de sorte qu’il y aurait à peine quatre à parier contre trois, que la chance de croix serait plus grande d’un cinquantième, dans la première partie de l’expérience que dans la seconde. En faisant $\varepsilon =$ 0,025, on devra prendre le signe supérieur et employer la première formule (26) ; on aura alors

$u=$ 0,10925,$\lambda =$ 0,43861,$1-\lambda =$ 0,56139 ;

et il y aurait moins de un contre un à parier, que l’excès dont il s’agit surpasserait un quarantième.

(90). Je placerai ici la solution d’un problème, susceptible d’une application intéressante, et qui sera fondée sur les formules précédentes et sur un lemme que je vais d’abord énoncer^[2].

Une urne A renferme un nombre $c$ de boules, dont $a$ boules blanches et $b$ boules noires, de sorte qu’on ait ${a+b=c}$. On en extrait d’abord au hasard un nombre $l$ de boules, successivement et sans les remettre, ou toutes à la fois ; ensuite, on en extrait de même un nombre $\mu$ ou ${m+n}$ d’autres boules ; je dis que dans cette seconde opération, la probabilité d’amener $m$ boules blanches et $n$ boules noires, est indépendante du nombre et de la couleur des boules sorties dans la première, et la même que si $l$ était zéro.

En effet, supposons que l’on effectue les ${l+\mu }$ tirages successifs ; soient $i$ le nombre total des combinaisons différentes de ${l+\mu }$ boules qui pourront arriver, $i'$ le nombre de ces combinaisons dans lesquelles les $\mu$ dernières boules se composeront de $m$ blanches et de $n$ noires, $i_{\prime }$ le nombre de celles dans lesquelles ce seront les $\mu$ premières boules qui en renfermeront $m$ blanches et $n$ noires ; la chance d’amener $m$ boules blanches et $n$ boules noires, après une extraction de $l$ boules quelconques, sera ${\tfrac {i'}{i}}$, et la chance d’amener $m$ boules blanches et $n$ boules noires, avant qu’aucune boule ait été extraite de A, aura ${\tfrac {i_{\prime }}{i}}$ pour valeur ; or, les deux nombres $i'$ et $i_{\prime }$ sont égaux ; car, en général, une combinaison qui se compose de $l$ boules déterminées, suivies de $\mu$ boules aussi déterminées, et celle où ces $\mu$ dernières boules précèdent, au contraire, les $l$ premières, sont toutes deux également possibles ; et, en particulier, pour chaque combinaison dans laquelle les $\mu$ dernières des ${l+\mu }$ boules extraites de A renferment $m$ blanches et $n$ noires, il y a toujours une autre combinaison dans laquelle ce sont les $\mu$ premières boules qui contiennent ces nombres de blanches et de noires, et réciproquement. Les fractions ${\tfrac {i'}{i}}$ et ${\tfrac {i_{\prime }}{i}}$, et conséquemment les probabilités qu’elles expriment, sont donc aussi égales ; ce qu’il s’agissait de démontrer.

On peut vérifier cette proposition de la manière suivante.

Les nombres de boules blanches et de boules noires contenues dans A étant $a$ et $b$, la chance d’amener $m$ boules blanches et $n$ noires dans les ${m+n}$ premiers tirages, est une fonction de $a$, $b$, $m$, $n$, que je représenterai par ${f(a,b,m,n)}$. Celle d’amener $g$ boules blanches et $h$ noires dans les ${g+h}$ premiers tirages sera de même ${f(a,b,g,h)}$ ; ces tirages ayant réduit à ${m-g}$ et ${n-h}$, les nombres de boules blanches et de boules noires que A renferme, la chance d’en extraire ensuite $m$ blanches et $n$ noires dans ${m+n}$ ou $\mu$ nouveaux tirages, aura pour expression ${f(a-g,b-h,m,n)}$ ; le produit de ces deux dernières fonctions sera donc la chance d’amener $m$ boules blanches et $n$ noires, après avoir déjà extrait de A, $g$ boules blanches et $h$ boules noires ; par conséquent, si l’on fait la somme des ${l+1}$ valeurs de ce produit, qui répondent à toutes les valeurs entières ou zéro de $g$ et $h$, dont la somme est $l$, on aura l’expression complète de la chance d’amener $m$ boules blanches et $n$ noires, après avoir extrait de A un nombre $l$ de boules quelconques. Cela étant, il s’agira de faire voir que cette chance est indépendante de $l$, et égale à ${f(a,b,m,n)}$, c’est à-dire de montrer que l’on a

$f(a,b,m,n)=\textstyle \sum f(a,b,g,h)f(a-g,b-h,m,n)$ ;

la somme $\textstyle \sum$ s’étendant depuis ${g=0}$ et ${h=l}$, jusqu’à ${g=l}$ et ${h=0}$.

Pour cela, j’observe qu’on a, d’après le n^o 18,

$f(a,b,m,n)={\frac {\varphi (m,n)\varphi (a-m,b-n)}{\varphi (a,b)}}$,

en faisant, pour abréger,

${\frac {1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots c}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots a\,{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots b}}=\varphi (a,b)$,

relativement à des nombres quelconques $a$ et $b$, dont la somme est $c$.

Il en résultera

$f(a,b,g,h)f(a{-}g,b{-}h,m,n)={\frac {\varphi (g,h)\varphi (a{-}g,b{-}g)}{\varphi (a,b)}}\,{.}\,{\frac {\varphi (m,n)\varphi (a{-}g{-}m,b{-}h{-}n)}{\varphi (a{-}g,b{-}h)}}$,

ou, ce qui est la même chose,

$f(a,b,g,h)f(a-g,b-h,m,n)={\frac {\varphi (m,n)}{\varphi (a,b)}}\,{.}\,\varphi (g,h)\varphi (a-g-m,b-h-n)$ ;

au moyen de quoi, et de la valeur de ${f(a,b,m,n)}$, l’équation qu’il s’agit de vérifier deviendra

$\varphi (a-m,b-n)=\textstyle \sum \varphi (g,h)\,\varphi (a-g-m,b-h-n)$,

en supprimant le facteur ${\tfrac {\varphi (m,n)}{\varphi (a,b)}}$, commun à tous les termes de ses deux membres ; et comme $a$ et $b$ sont des nombres quelconques, on y pourra, si l’on veut, mettre ${a+n}$ et ${b+m}$ au lieu de $a$ et $b$ ; ce qui la changera en celle-ci

$\varphi (a,b)=\textstyle \sum \varphi (g,h)\,\varphi (a-g,b-h)$.

Or, son premier membre est le coefficient de ${x^{a}y^{b}}$, dans le développement de ${(x+y)^{c}}$ ; son second membre est le coefficient de ${x^{a}y^{b}}$, dans le produit des développements de ${(x+y)^{l}}$ et ${(x+y)^{c-l}}$, ou dans le développement de ${(x+y)^{c}}$, comme le premier membre ; par conséquent, les deux membres de cette équation sont identiques ; ce qu’il s’agissait de vérifier.

(91). Supposons actuellement que les nombres $a$, $b$, ${a-m}$, ${b-n}$, soient très grands ; les valeurs approchées de ${\varphi (m,n)}$, ${\varphi (a-m,b-n)}$, ${\varphi (a,b)}$, et ensuite celle de ${f(a,b,m,n)}$, se calculeront au moyen de la série (3) ; et si l’on réduit cette série à son premier terme, on en déduira une valeur de ${f(a,b,m,n)}$, que l’on pourra mettre sous la forme}}

$f(a,b,m,n)=\mathrm {H} \,\left({\frac {a\mu }{cm}}\right)^{\!m}\left({\frac {b\mu }{cn}}\right)^{\!n}\left({\frac {a(c-\mu )}{c(a-m)}}\right)^{\!a-m}\left({\frac {b(c-\mu )}{c(b-n)}}\right)^{\!b-n}$,

en faisant, pour abréger,

${\sqrt {\frac {ab\mu (c-\mu )}{2\pi cmn\,(a-m)\,(b-n)}}}=\mathrm {H}$.

Lorsque $m$ et $n$, et par conséquent aussi ${a-m}$ et ${b-n}$, seront entre eux comme $a$ et $b$, chacun des quatre derniers facteurs atteindra son maximum et aura l’unité pour valeur. Ils décroîtront très rapidement à mesure que $m$ et $n$ s’écarteront de ce rapport, et deviendront tout-à-fait insensibles, dès que le rapport ${\tfrac {m}{n}}$ ne différera plus très peu de ${\tfrac {a}{b}}$ ; en sorte qu’il suffira de considérer la probabilité exprimée par ${f(a,b,m,n)}$, pour des valeurs de $m$ et $n$, à très peu près entre elles comme $a$ et $b$. Si donc nous faisons

$m={\frac {\mu a}{c}}-\theta {\sqrt {c}}$,$n={\frac {\mu b}{c}}-\theta {\sqrt {c}}$,

et conséquemment

$a-m={\frac {(c-\mu )a}{c}}-\theta {\sqrt {c}}$,$b-n={\frac {(c-\mu )b}{c}}-\theta {\sqrt {c}}$ ;

nous pourrons considérer $\theta$ comme une quantité positive ou négative, mais très petite par rapport à $\textstyle {\sqrt {c}}$, de manière que ${\tfrac {\theta }{\sqrt {c}}}$ soit une très petite fraction, dont nous négligerons le carré, ainsi que toutes les quantités de l’ordre de petitesse de ${\tfrac {1}{c}}$.

Cela posé, nous aurons

${\begin{aligned}{\frac {cm}{a\mu }}&=1-{\frac {\theta c{\sqrt {c}}}{a\mu }},&&{\frac {cn}{b\mu }}=1+{\frac {\theta c{\sqrt {c}}}{a\mu }},\\{\frac {c(a-m)}{a(c-\mu )}}&=1+{\frac {\theta c{\sqrt {c}}}{a(c-\mu )}},&&{\frac {c(b-n)}{b(c-\mu )}}=1-{\frac {\theta c{\sqrt {c}}}{b(c-\mu )}}\;;\end{aligned}}$

et en négligeant les carrés des seconds termes de ces binômes, on trouvera d’abord par un calcul semblable à celui du n^o 85,

$\left({\frac {a\mu }{cm}}\right)^{\!m}\left({\frac {b\mu }{cn}}\right)^{\!n}=\left[1{+}{\frac {\theta ^{3}c^{4}\!{\sqrt {c}}}{3\mu ^{3}}}\!\left({\frac {m}{a^{3}}}{-}{\frac {n}{b^{3}}}\right)\right]e^{{\frac {\theta c{\sqrt {c}}}{\mu }}\left({\frac {m}{a}}-{\frac {n}{b}}\right)}e^{{\frac {\theta ^{2}c^{3}}{2\mu ^{2}}}\left({\frac {m}{a^{2}}}-{\frac {n}{b^{2}}}\right)}$.

En mettant pour $m$ et $n$ leurs valeurs précédentes, cette formule devient ensuite

$\left({\frac {a\mu }{cm}}\right)^{\!m}\left({\frac {b\mu }{cn}}\right)^{\!n}=\left[1-{\frac {\theta ^{3}(a-b)c^{4}{\sqrt {c}}}{3\mu ^{2}a^{2}b^{2}}}\right]e^{-{\frac {\theta ^{2}c^{3}}{2\mu ab}}}$.

On trouvera de même

$\left({\frac {a(c-\mu )}{c(a-m)}}\right)^{\!a-m}\left({\frac {b(c-\mu )}{c(b-n)}}\right)^{\!b-n}=\left[1+{\frac {\theta ^{3}(a-b)c^{4}{\sqrt {c}}}{3(c-\mu )^{2}a^{2}b^{2}}}\right]e^{-{\frac {\theta ^{2}c^{3}}{2(c-\mu )ab}}}$ ;

équation qui se déduit aussi de la précédente par le changement de $m$, $n$, $\mu$, en ${a-m}$, ${b-n}$, ${c-\mu }$, et du signe de $\theta$. De là on conclut, au degré d’approximation où nous nous arrêtons,

$f(a,b,m,n)=\mathrm {H} \left[1-{\frac {\theta ^{3}(a-b)(c-2\mu )c^{5}{\sqrt {c}}}{3(c-\mu )^{2}\mu ^{2}a^{2}b^{2}}}\right]e^{-{\frac {\theta ^{2}c^{4}}{2(c-\mu )\mu ab}}}$ ;

ou bien, en faisant

$\theta ={\frac {t{\sqrt {2(c-\mu )\mu ab}}}{c^{2}}}$,

on aura, plus simplement

$f(a,b,m,n)=\mathrm {H} \left[1-{\frac {4t^{3}(a-b)(c-2\mu )}{3{\sqrt {2(c-\mu )\mu abc}}}}\right]e^{-t^{2}}$ ;

(28)

pour la chance d’amener les nombres $m$ et $n$ de boules blanches et de boules noires, exprimées par

$\left.{\begin{aligned}m&={\frac {\mu a}{c}}-{\frac {t{\sqrt {2(c-\mu )\mu abc}}}{c^{2}}},\\n&={\frac {\mu b}{c}}+{\frac {t{\sqrt {2(c-\mu )\mu abc}}}{c^{2}}}.\end{aligned}}\right\rbrace$

(29)

Selon que le nombre $\mu$ sera pair ou impair, la différence ${n-m}$ sera aussi paire ou impaire. Si l’on désigne par $i$ un nombre entier et positif, et qu’on représente l’excès de $n$ sur $m$ par $2i$ ou ${2i+1}$, l’expression correspondante de $t$ devra être, d’après ces équations (29),

$t=2i\delta +\gamma$,

en faisant, pour abréger,

${\frac {c^{2}}{2{\sqrt {2(c-\mu )\mu abc}}}}=\delta$,

et désignant par $\gamma$ l’une de ces deux quantités

$\gamma ={\frac {(a-b)\mu c}{2{\sqrt {2(c-\mu )\mu abc}}}}$,$\gamma ={\frac {(a-b)\mu c}{2{\sqrt {2(c-\mu )\mu abc}}}}-\delta$,

savoir : la première quand $\mu$ sera pair, et la seconde quand il sera impair. La formule (28), après qu’on y aura substitué cette valeur de $t$, exprimera donc la probabilité que dans les $\mu$ tirages successifs, le nombre des boules noires surpassera celui des boules blanches, d’un nombre d’unités égal à $2i$ ou ${2i-1}$ ; par conséquent, si l’on y fait successivement ${i=1,}\,{=2,}\,{=3,\ldots }$ jusqu’à ce que l’exponentielle $e^{-t^{2}}$ soit devenue insensible, ou, si l’on veut, jusqu’à ${i=\infty }$, et que l’on prenne ensuite la somme des résultats ; cette somme sera la probabilité que dans ces $\mu$ tirages, le nombre des boules noires excédera celui des blanches, d’un nombre pair ou impair quelconque d’unités. En la désignant par $s$, nous aurons

$s=\sum \mathrm {H} \left[1-{\frac {4t^{3}(a-b)(c-2\mu )}{3{\sqrt {2(c-\mu )\mu abc}}}}\right]e^{-t^{2}}$ ;

$\textstyle \sum$ indiquant une somme qui s’étend à toutes les valeurs de $t$, comprises depuis ${t=\gamma +2\delta }$ jusqu’à ${t=\infty }$, et croissantes par des différences constantes et égales à $2\delta$. Or, $2\delta$ étant, par hypothèse, une très petite fraction, la somme $\textstyle \sum$ pourra s’exprimer en série très convergente, ordonnée suivant les puissances de cette différence. En effet si l’on représente par $\mathrm {T}$ la fonction de $t$ contenue sous le signe $\textstyle \sum$, et si l’on observe que cette fonction et toutes ses différentielles s’évanouissent à la limite ${t=\infty }$, on aura, au moyen d’une formule due à Euler,

${\textstyle \sum \mathrm {T} }={\frac {1}{2\delta }}\int _{\gamma }^{\infty }\mathrm {T} dt-{\frac {1}{2}}k-{\frac {2\delta }{12}}k'+{\frac {(2\delta )^{2}}{720}}k'''-{\text{etc.}}$ ;

$k$, $k'$, $k'''$, etc., étant les valeurs de $\mathrm {T}$, ${\tfrac {d\mathrm {T} }{dt}}$, ${\tfrac {d^{3}\mathrm {T} }{dt^{3}}}$, etc., qui répondent à ${t=\gamma }$. D’après les équations (29), on a d’ailleurs, au même degré d’approximation que précédemment,

${\begin{aligned}mn&={\frac {\mu ^{2}ab}{c^{2}}}+{\frac {t\mu (a-b){\sqrt {2(c-\mu )\mu abc}}}{c^{3}}},\\(a-m)(b-n)&={\frac {(c-\mu )^{2}ab}{c^{2}}}-{\frac {t(c-\mu )(a-b){\sqrt {2(c-\mu )\mu abc}}}{c^{3}}}\;;\end{aligned}}$

en ayant égard à la valeur de $\delta$, il en résulte

${\begin{aligned}{\frac {1}{2\delta }}\mathrm {H} &={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\left[1-{\frac {t(a-b)(c-2\mu )}{\sqrt {2(c-\mu )\mu abc}}}\right],\\k&={\frac {c^{2}e^{-\gamma ^{2}}}{\sqrt {2\pi (c-\mu )\mu abc}}}\;;\end{aligned}}$

les termes dépendants de $k'$, $k'''$, etc., étant multipliés par $\mathrm {H}$ dans l’expression de $s$, auront $\delta ^{2}$, $\delta ^{4}$, etc., pour facteurs, et devront être négligés ; et à cause de

$\int _{\gamma }^{\infty }e^{-t^{2}}dt={\frac {1}{2}}e^{-\gamma ^{2}}$,$\int _{\gamma }^{\infty }e^{-t^{2}}t^{3}dt={\frac {1}{2}}(1+\gamma ^{2})e^{-\gamma ^{2}}$,

on conclura de ces diverses valeurs

$s={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{\gamma }^{\infty }e^{-t^{2}}dt-\Gamma e^{-\gamma ^{2}}$,

en faisant, pour abréger,

${\frac {(a-b)(c-2\mu )(7+4\gamma ^{2})+3c^{2}}{6{\sqrt {2\pi (c-\mu )\mu abc}}}}=\Gamma$.

Soit $v$ une quantité positive ; selon que la quantité $\gamma$ sera positive ou négative, prenons ${v=\pm \gamma }$ ; à cause de

$\int _{-v}^{\infty }e^{-t^{2}}dt={\sqrt {\pi }}-\int _{v}^{\infty }e^{-t^{2}}dt$,

nous aurons finalement

$\left.{\begin{aligned}s&=1-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{v}^{\infty }e^{-t^{2}}-\Gamma e^{-\gamma ^{2}},\\s&={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{v}^{\infty }e^{-t^{2}}-\Gamma e^{-\gamma ^{2}}\;;\end{aligned}}\right\rbrace$

(30)

la première valeur de $s$ ayant lieu quand on a ${\gamma <0}$, et la seconde dans le cas de ${\gamma >0}$.

En faisant ${t=\gamma }$ dans la formule (28), et désignant le résultat par $\sigma$, on aura

$\sigma ={\frac {c^{2}e^{-\gamma ^{2}}}{\sqrt {2\pi (c-\mu )\mu abc}}}$,

(31)

pour la probabilité que dans le nombre $\mu$ de tirages, les nombres $m$ et $n$ de boules des deux couleurs seront égaux entre eux, et à la moitié de $\mu$ ; ce qui n’est possible que quand $\mu$ est un nombre pair.

(92). Après avoir extrait $\mu$ boules de A, supposons que l’on en extraie $\mu '$ autres, puis $\mu ''$ autres, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on ait épuisé le nombre $c$ de boules que cette urne renferme, de sorte qu’on ait

$c=\mu +\mu '+\mu ''+\mu '''+{\text{etc.}}$ ;

supposons, de plus, que chacun de ces nombres $\mu '$, $\mu ''$, etc., soit très grand, ainsi que $\mu$ ; et désignons par $s'$, $s''$, etc., ce que devient $s$, en y mettant successivement $\mu '$, $\mu ''$, etc., au lieu de $\mu$, et faisant usage de la première ou de la seconde formule (30), selon qu’à l’origine des tirages, le nombre $b$ des boules noires sera plus grand ou plus petit que le nombre $a$ des boules blanches, contenus l’un et l’autre dans A ; ce qui rendra la quantité $\gamma$ négative ou positive. D’après le lemme du n^o 90, les chances d’amener plus de boules noires que de blanches, dans ces tirages successifs des nombres de boules $\mu$, $\mu '$, $\mu ''$, etc., seront les quantités $s$, $s'$, $s''$, etc. ; en sorte qu’elles ne varieront qu’à raison de l’inégalité de $\mu$, $\mu '$, $\mu ''$, etc., et seraient toutes égales, si ces nombres étaient égaux. Soit $r$ la moyenne des valeurs de $s$, $s'$, $s''$, etc., c’est-à-dire,

$r={\frac {1}{\alpha }}(s+s'+s''+s'''+{\text{etc.}})$,

en représentant par $\alpha$ le nombre total des tirages. Si l’on suppose encore que $\alpha$ soit très grand, et si l’on appelle $j$ le nombre de ces $\alpha$ tirages dans lesquels les boules noires excéderont les blanches, la probabilité que $j$ se trouvera compris entre des limites données, sera la même, en vertu de la première proposition du n^o 52, que si toutes les chances $s$, $s'$, $s''$, etc., étaient égales entre elles et à leur moyenne $r$. Par conséquent, en mettant $\alpha$, $r$, ${1-r}$, au lieu de $\mu$, $q$, $p$, dans la formule (17), nous aurons

$\mathrm {R} =1-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \alpha r(1-r)}}}e^{-u^{2}}$,

pour la probabilité que le nombre $j$ sera contenu entre les limites

$\alpha r\mp u{\sqrt {2\alpha r(1-r)}}$,

ou égal à l’une d’elles ; $u$ étant un petit nombre par rapport à $\textstyle {\sqrt {\alpha }}$.

Telle est la solution du problème que nous nous proposions de résoudre. L’application dont elle est susceptible se rapporte aux élections des députés dans un grand pays, comme la France, par exemple. Voici en quoi elle consiste.

Le nombre des électeurs, dans la France entière, est représenté par $c$ ; celui des électeurs qui ont une opinion, par $a$ ; celui des électeurs de l’opinion contraire, par $b$ ou ${c-a}$. On partage le nombre total $c$ en un nombre $\alpha$ de colléges électoraux, dont chacun élit un député, de telle sorte que le député élu dans un collége soit de la seconde ou de la première opinion, selon que le nombre des électeurs appartenant à l’une ou à l’autre y sera prépondérant. Cela étant, on demande la probabilité $\mathrm {R}$ que le nombre $j$ des députés qui appartiendront à la seconde opinion, sera compris entre des limites données, en supposant que le partage des électeurs en un nombre $\alpha$ de colléges, soit fait au hasard, c’est-à-dire en supposant qu’on prenne au hasard sur la liste générale, un nombre $\mu$ d’électeurs pour former un premier collége, un nombre $\mu '$ pour former un second collége, un autre nombre $\mu ''$ pour en former un troisième, etc. ; et si l’on prend pour les limites de $j$ celles que l’on vient d’écrire, la probabilité demandée $\mathrm {R}$ s’exprimera par la formule précédente.

Quoique chaque collége électoral se compose des électeurs d’un même arrondissement, et non pas d’électeurs pris au hasard sur la liste générale, ainsi que nous le supposons, il peut être utile cependant de savoir ce qu’il arriverait dans cette hypothèse ; c’est ce que nous allons montrer par des exemples.

(93). En France, le nombre des colléges électoraux, égal à celui des députés, est 459, et l’on peut évaluer à environ 200000 le nombre total des électeurs. Je supposerai que tous les nombres $\mu$, $\mu '$, $\mu ''$, etc., soient égaux ; en prenant pour $\mu$ un nombre impair, je ferai

$\alpha =$ 459,$\mu =$ 435,$c=\alpha \mu =$ 199665.

Je supposerai aussi qu’on ait

$a=$ 94835,$b=$ 104830 ;

de sorte que la différence entre la majorité et la minorité soit à très peu près le vingtième du nombre total des électeurs. La quantité $\gamma$ sera négative ; on fera donc ${v=-\gamma }$ ; en prenant la seconde des deux valeurs de $\gamma$ du n^o 91, il en résultera

$v=$ 0,77396,${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{v}^{\infty }e^{-t^{2}}dt=$ 0,13684 ;

et, en vertu de la première formule (30), on aura

$s=$ 0,85426,$1-s=$ 0,14574 ;

La chance d’une élection dans le sens de la majorité des électeurs surpasserait donc 21/25 ; et la minorité, quoiqu’elle ne diffère pas beaucoup de la majorité, ne pourrait guère espérer d’élire plus des 4/25 des députés. En mettant ces valeurs de $s$ et ${1-s}$ à la place de $r$ et ${1-r}$ dans l’expression de $\mathrm {R}$ du numéro précédent, faisant $\alpha =$ 459, et prenant ${u=2}$, on trouve

$\mathrm {R} =$ 0,99682,

pour la probabilité que le nombre des députés élus par la majorité, serait compris entre les limites 392 ∓ 21, et ceux de la minorité entre les nombres 67 ± 21. L’amplitude de ces limites est considérable relativement au nombre $\alpha$, parce que $\alpha$ n’est pas extrêmement grand.

Je suppose toujours que la différence ${b-a}$ soit à peu près le vingtième de $c$ ; mais je prends pour $\mu$ un nombre pair. Je fais, en conséquence,

$\alpha =$ 459,$\mu =$ 436,$c=\alpha \mu =$ 200124,

et, en outre,

$a=$ 95064,$b=$ 105060.

On aura toujours ${v=-\gamma }$ ; mais il faudra prendre pour $\gamma$ la première valeur du numéro 91. De cette manière, on trouvera

$v=$ 0,74006,${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{v}^{\infty }e^{-t^{2}}dt=$ 0,14764 ;

et il en résultera

$s=$ 0,84279,$1-s=$ 0,15721.

Mais $\mu$ étant un nombre pair, le cas de ${m=n}$ est possible ; d’après la formule (31), sa chance est $\sigma =$ 0,02218 ; et si l’on en ajoute la moitié à la valeur de $s$, on a $s=$ 0,85388 ; quantité très peu inférieure à celle qui a lieu quand $\mu$ est impair.

Afin de montrer l’influence de l’inégalité des nombres d’électeurs dans les différents colléges, je supposerai que la moitié du nombre total des électeurs soit répartie également dans le tiers des colléges, et l’autre moitié dans les deux autres tiers.

Pour appliquer les formules précédentes au premier tiers, je ferai alors

${\tfrac {1}{3}}\,\alpha =$ 153,$\mu =$ 654,${\tfrac {1}{3}}\,\alpha \mu =$ 100062 ;

et, pour les appliquer aux deux derniers,

${\tfrac {2}{3}}\,\alpha =$ 306,$\mu =$ 327,${\tfrac {2}{3}}\,\alpha \mu =$ 100062.

Je supposerai, en outre,

$a=$ 95062,$b=$ 105062,$c=$ 200124 ;

de manière que la différence entre la majorité et la minorité soit toujours à peu près un vingtième du nombre total des électeurs. Dans le premier cas, où $\mu$ est un nombre pair, on trouve

$s=$ 0,89429,$\sigma =$ 0,01376,$s+{\tfrac {1}{2}}\sigma =$ 0,90117 ;

dans le second, où $\mu$ est impair, on obtient

$s=$ 0,81981 ;

il en résulte donc

$r=$ 1/2 (0,90117 + 0,81981) = 0,86049,

pour la chance moyenne d’une élection dans le sens de la majorité ; laquelle surpasse un peu, comme on voit, celle qui a lieu quand tous les colléges sont composés d’un même nombre d’électeurs.

Lorsque la différence ${b-a}$ entre la majorité et la minorité vient à augmenter, la chance des élections dans le sens de la minorité diminue très rapidement, de telle sorte qu’elle est bientôt presque nulle. Pour le faire voir, je suppose les électeurs répartis en nombres égaux dans tous les colléges ; je prends pour a$\alpha$, $\mu$, $c$, les mêmes nombres que dans le premier exemple ; et je fais, en outre,

$a=$ 89835,$b=$ 109830 ;

ce qui rend la différence ${b-a}$ a très peu près le dixième du nombre $c$, et double de ce qu’elle était dans cet exemple. Je trouve alors

$s=$ 0,98176,$1-s=$ 0,01824 ;

en sorte que la chance d’une élection dans le sens de la minorité n’est plus que d’à peu près un soixantième. À cause de la petitesse de $s$, c’est à la formule du n^o 81 qu’il faudra recourir pour déterminer la probabilité $\mathrm {P}$ que le nombre de fois qu’une telle élection aura lieu dans le nombre total des colléges électoraux, ne surpassera pas un nombre donné $n$. En faisant, dans cette formule,

$\omega =\alpha (1-s)=$ 8,3713,$n=$ 15,

on en déduit

$\mathrm {P} =$ 0,98713,$1-\mathrm {P} =$ 0,01287 ;

ce qui fait voir qu’il y aurait à peu près cent à parier contre un que la minorité n’élira pas plus de 15 députés. En élevant la différence entre la majorité et la minorité à 30000, c’est-à-dire aux trois vingtièmes du nombre total des électeurs, on trouve que la chance ${1-s}$ s’abaisserait au-dessous d’un millième, et qu’il serait fort probable que la minorité n’élirait pas un seul député.

S’il en était ainsi, le gouvernement représentatif ne serait plus qu’une déception, puisqu’une minorité de 90000 sur 200000 électeurs ne serait représentée que par un très petit nombre de députés, et qu’une minorité de 85000 n’aurait plus qu’une très faible chance d’avoir un interprète dans la chambre élective. Il suffirait que dans l’intervalle de deux sessions, trois vingtièmes de la totalité des électeurs changeassent d’opinion, pour que la chambre entière passât de la droite à la gauche, d’une opinion à l’opinion contraire. Mais les électeurs dont chaque collége est compose ne sont pas pris au hasard, comme notre calcul le suppose, sur la liste des électeurs de toute la France ; et dans chaque arrondissement, l’opinion prépondérante se forme et se maintient par des causes particulières, telles que les intérêts de la localité, l’influence du Gouvernement et celle de quelques citoyens. Toutefois, il était bon de signaler l’extrême mobilité que le hasard pourrait produire dans la composition de la chambre élective, pour de très petits changements dans la proportion des électeurs qui ont une opinion et de ceux qui appartiennent à l’opinion contraire.

1. Journal de l’École Polytechnique, 19^e cahier, page 490.
2. Depuis que la note de la page 61 est imprimée, on m’a fait remarquer que la proposition qu’elle renferme est comprise dans ce lemme, dont j’avais déjà fait usage pour la solution du problème du trente-et-quarante, citée à la page 70.