renfermera les intégrales prises depuis
jusqu’à
, de la différentielle
multipliée par des puissances paires ou impaires de
; les intégrales relatives aux puissances paires auront des valeurs connues, les autres s’évanouiront ; et les nombres
et
étant du même ordre de grandeur que
, la série dont il s’agit se trouvera ordonnée suivant des quantités de l’ordre de petitesse de
,
,
, etc. En nous arrêtant à son premier terme, et observant que l’intégrale
est égale à
, nous aurons
![{\displaystyle \int _{0}^{1}u^{n-i}(1-u)^{i}\varphi udu={\frac {i^{i}(n-i)^{n-i}{\sqrt {2\pi i(n-i)}}}{n^{n+1}{\sqrt {n}}}}\varphi \!\left({\frac {n-i}{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f1b4f8f94aaffb6c7a34986467f04b93e99b248)
;
d’où l’on conclut aussi
![{\displaystyle \int _{0}^{1}u^{i}(1-u)^{n-i}\varphi udu={\frac {i^{i}(n-i)^{n-i}{\sqrt {2\pi i(n-i)}}}{n^{n+1}{\sqrt {n}}}}\varphi \!\left({\frac {i}{n}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d62d6d426cc21a7e416b4151b5999eb844ea434d)
;
par la permutation des nombres
et
.
Si l’on désigne par
une quantité positive et très petite par rapport à
; que l’on fasse
![{\displaystyle l={\frac {n-i}{n}}-\delta {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af97db8c7487222d75e9b258f5dd60667be28ec)
,
![{\displaystyle l'={\frac {n-i}{n}}+\delta {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4c555d649560bc612e7dba280bd1c13232603ce)
;
et qu’on développe en séries les logarithmes contenus dans les expressions de
et
, on trouvera
et
, en négligeant les termes de l’ordre de petitesse de
. D’après cela, on aura
![{\displaystyle \int _{l}^{l'}u^{n-i}(1-u)^{i}\varphi udu={\frac {i^{i}(n-i)^{n-i}{\sqrt {2\pi i(n-i)}}}{n^{n+1}{\sqrt {n}}}}\varphi \!\left({\frac {n-i}{n}}\right)\int _{-\delta }^{\delta }e^{-x^{2}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79806ef9e6d02de2d871d274da94d9d31a4c3e0a)
,
aux quantités près de l’ordre de
. À mesure que
augmentera, cette intégrale relative à
s’approchera d’être égale à
; pour qu’elle en diffère très peu, il suffira que
soit un nombre tel que 2 ou 3.