d’après les valeurs précédentes de
et de
. Lorsque
et
surpasseront
, les valeurs de
et
devant alors être positives, on prendra les signes supérieurs devant les radicaux ; on prendra les signes inférieurs, quand
et
seront moindres que
; et quand ou aura
et
, on prendra le signe supérieur devant le second radical et le signe inférieur devant le premier, afin que la valeur de
soit négative et que celle de
soit positive.
Pour exprimer
en série ordonnée suivant les puissances de
, soient
,
,
, etc., des coefficients constants, et faisons
![{\displaystyle u=\alpha +\gamma x+\gamma 'x^{2}+\gamma ''x^{3}+{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f4bd5f18c18f7d85ee197ad07f9259e75d52ee)
;
en ayant égard aux valeurs de <math\alpha</math>,
,
, il en résultera
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}&={\frac {n^{3}}{2i(n-i)}}(\gamma x+\gamma 'x^{2}+\gamma ''x^{3}+{\text{etc.}})^{2}\\&+{\frac {n^{4}(n-2i)}{3i^{2}(n-i)^{2}}}(\gamma x+\gamma 'x^{2}+\gamma ''x^{3}+{\text{etc.}})^{2}+{\text{etc.}};\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/931f52455c87b67c9b32b465248c817a27fef038)
en égalant les coefficients des mêmes puissances de
dans les deux membres de cette équation, on en déduira les valeurs de
,
,
, etc., au moyen desquelles, on aura
![{\displaystyle u=\alpha +x{\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}-{\frac {2x^{2}(n-2i)}{3n^{2}}}+{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f874f4ef7410a711f6646aa18ee4b01ffaa6c91f)
,
et, en même temps,
![{\displaystyle du={\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}dx-{\frac {4x(n-2i)}{3n^{2}}}dx+{\text{etc.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc6ae817b8e6be6e9f9c7503fae44e04490f4a8a)
.
Si la fonction
ne décroît pas très rapidement de part ou d’autre de la valeur particulière
de
, on pourra, après y avoir substitué cette valeur de
en série, développer aussi
suivant les puissances de
, et par suite, suivant les puissances de
; on aura, de cette manière,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi u=\varphi \alpha &+\left[x{\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}-{\text{etc.}}\right]{\frac {d\varphi \alpha }{d\alpha }}\\&+{\frac {1}{2}}\left[x{\sqrt {\frac {2i(n-i)}{n^{3}}}}-{\text{etc.}}\right]^{2}{\frac {d^{2}\varphi \alpha }{d\alpha ^{2}}}+{\text{etc.}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ec7a5d5d1841f97eed9328b890655161f4b458)
Au moyen de ces diverses valeurs, l’expression en série de