![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\alpha }\mathrm {U} _{i}\varphi udu&=\varphi \alpha {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{\pi n^{3}}}}\int _{0}^{\infty }\left(\int _{\theta }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)d\theta ,\\\int _{\alpha }^{1}\mathrm {U} _{i}\varphi udu&=\int _{\alpha }^{1}\varphi udu-\varphi \alpha {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{\pi n^{3}}}}\int _{0}^{\infty }\left(\int _{\theta }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)d\theta \;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ea77123dca8873f144dd39a4f98baa0ad9395f)
et en ajoutant ces deux formules, il en résultera
![{\displaystyle \int _{0}^{1}\mathrm {U} _{i}\varphi udu=\int _{\alpha }^{1}\varphi udu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bac7bdb4b5751fb389555e11f71de0dd6aac668)
.
En général, si l’on désigne par
et
deux valeurs de
telles que l’on ait
et
, et que l’on représente par
et
les valeurs positives de
qui répondent à
et
, on aura, au degré d’approximation où nous nous arrêtons,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{a}\mathrm {U} _{i}\varphi udu&=\varphi \alpha {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{\pi n^{3}}}}\int _{0}^{b}\left(\int _{\theta }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)d\theta ,\\\int _{\alpha }^{a_{\prime }}\mathrm {U} _{i}\varphi udu&=\int _{\alpha }^{a_{\prime }}\varphi udu-\varphi \alpha {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{\pi n^{3}}}}\int _{0}^{b_{\prime }}\left(\int _{\theta }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)d\theta .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c6b4dad648eb75f573dc3a39237a012ba616aab)
Par le procédé de l’intégration par partie, on a d’ailleurs
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{b}\left(\int _{\theta }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)d\theta &=b\int _{b}^{\infty }e^{-x^{2}}dx+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}e^{-b^{2}},\\\int _{0}^{b_{\prime }}\left(\int _{\theta }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)d\theta &=b_{\prime }\int _{b}^{\infty }e^{-x^{2}}dx+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}e^{-b_{\prime }^{2}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c3b90227893f84a7ee16b415eccfe7f9f88d4e2)
et, par conséquent,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{a}\mathrm {U} _{i}\varphi udu&=\varphi \alpha {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{\pi n^{3}}}}\left(b\int _{b}^{\infty }e^{-x^{2}}dx+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}e^{-b^{2}}\right),\\\int _{\alpha }^{a_{\prime }}\mathrm {U} _{i}\varphi udu&=\int _{\alpha }^{a_{\prime }}\varphi udu-\varphi \alpha {\sqrt {\frac {2i(n-i)}{\pi n^{3}}}}\left(b_{\prime }\int _{b}^{\infty }e^{-x^{2}}dx+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}e^{-b_{\prime }^{2}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f7de68bcb297b90e6104a7570c8d39b78d7d619)
Je mets actuellement
à la place de
dans les formules (11), et j’y change, en conséquence,
en
(no 118). La première aura lieu quand
surpassera
, c’est-à-dire depuis
, jusqu’à
, en prenant
pour
, et faisant toujours
. La seconde subsistera depuis
jusqu’à
. En représentant par
ce que devient \theta par le changement de
en
, et continuant de négliger