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près deux à parier contre un, que les seize cartes rouges sortiraient au moins une fois sans interruption.

(10). Si un événement E peut avoir lieu de plusieurs manières distinctes et indépendantes entre elles ; que d’une première manière, la probabilité de son arrivée soit $p_{1}$ ; que d’une seconde manière, elle soit $p_{2}$ etc., la probabilité complète sera la somme de toutes ces probabilités partielles, de sorte qu’en la désignant par $p$, on aura

$p=p_{1}+p_{2}+p_{3}+{\text{etc.}}$

Supposons, pour fixer les idées, que l’on ait un nombre donné $i$ d’urnes A, contenant des boules blanches et des boules noires, et que le nombre total de boules et le nombre de boules blanches soient $c_{1}$ et $a_{1}$ dans une première urne, $c_{2}$ et $a_{2}$ dans une seconde, etc. Supposons aussi que E soit l’extraction d’une boule blanche, en mettant la main au hasard dans l’une de ces urnes. Cet événement pourra alors arriver de $i$ manières différentes, puisque $i$ est le nombre d’urnes d’où la boule blanche pourra sortir. La probabilité que la main se portera sur l’une de ces urnes sera la même pour toutes et égale à ${\tfrac {1}{i}}$ ; la chance d’extraire une boule blanche sera ${\tfrac {a_{1}}{c_{1}}}$, ${\tfrac {a_{2}}{c_{2}}}$, ${\tfrac {a_{3}}{c_{3}}}$, etc., selon l’urne sur laquelle la main se portera effectivement ; d’après la règle du n^o 5, les probabilités $p_{1}$, $p_{2}$, $p_{3}$, etc., des diverses manières dont E pourra arriver, seront donc

$p_{1}={\tfrac {1}{i}}{\tfrac {a_{1}}{c_{1}}}$,$p_{2}={\tfrac {1}{i}}{\tfrac {a_{2}}{c_{2}}}$,$p_{3}={\tfrac {1}{i}}{\tfrac {a_{3}}{c_{3}}}$, etc. ;

et il s’agira de prouver que la probabilité complète $p$ de l’extraction d’une boule blanche, de l’une ou de l’autre de toutes les urnes A, aura pour valeur

$p={\tfrac {1}{i}}\left({\tfrac {a_{1}}{c_{1}}}+{\tfrac {a_{2}}{c_{2}}}+{\tfrac {a_{3}}{c_{3}}}+{\text{etc.}}\right)$.

La démonstration de cette règle est fondée sur un lemme qui sera également utile dans d’autres occasions.

Concevons un nombre quelconque $i$ d’urnes C, contenant des boules blanches et des boules noires en proportions diverses, mais dont le nombre total soit le même et représenté par $\mu$ pour chacune de ces