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ches, la deuxième un nombre $c_{2}$ de boules dont $a_{2}$ boules blanches, etc. ; et supposons que par une raison quelconque, il n’y ait pas la même chance pour toutes ces urnes, que la main s’y portera pour en extraire une boule blanche ou noire. Désignons alors par $k_{1}$ la probabilité qu’elle se portera sur l’urne D₁, par $k_{2}$ la probabilité qu’elle se portera sur l’urne D₂, etc. Par la règle du n^o 5, la probabilité d’extraire une boule blanche de la première urne sera ${k_{1}{\tfrac {a_{1}}{c_{1}}}}$, de la seconde ${k_{2}{\tfrac {a_{2}}{c_{2}}}}$, etc. ; ces produits exprimeront donc les probabilités partielles $p_{1}$, $p_{2}$, $p_{3}$, etc., relatives aux diverses manières dont l’extraction d’une boule blanche pourra avoir lieu ; par conséquent, la probabilité complète $\varpi$ de cet événement aura pour valeur

$\varpi ={\tfrac {k_{1}a_{1}}{c_{1}}}+{\tfrac {k_{2}a_{2}}{c_{2}}}+{\tfrac {k_{3}a_{3}}{c_{3}}}+{\text{etc.}}$

La considération d’un système d’urnes A₁, A₂, A₃, etc., etc., pour lesquelles les probabilités $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$, etc., sont égales entre elles, a suffi à la démonstration de la règle du numéro précédent dans toute sa généralité ; et cette règle étant ainsi démontrée, son application à d’autres urnes D₁, D₂, D₃, etc., pour lesquelles les chances $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$, etc., ont des valeurs quelconques, conduit ensuite, comme on voit, à l’expression de $\varpi$ qui se rapporte à ce cas général.

(13). Maintenant, soient E et F deux événements contraires, ou qui s’excluent mutuellement, et dont l’un des deux doit toujours arriver. Désignons par $p$ et $q$ leurs probabilités respectives, de sorte qu’on ait (n^o 3)

$p+q=1$.

Supposons que chacun de ces événements puisse avoir lieu de diverses manières, dont nous représenterons les probabilités par $p_{1}$, $p_{2}$, $p_{3}$, etc., relativement à E, et par $q_{1}$, $q_{2}$, $q_{3}$, etc., par rapport à F. En appliquant successivement la règle précédente à E et à F, nous aurons

${\begin{alignedat}{4}p{}={}&p_{1}&{}+{}&p_{2}&{}+{}&p_{3}&{}+{\text{etc.}},\\q{}={}&q_{1}&{}+{}&q_{2}&{}+{}&q_{3}&{}+{\text{etc.}},\end{alignedat}}$

et, par conséquent,

$p_{1}+p_{2}+p_{3}+{\text{etc.}}+q_{1}+q_{2}+q_{3}+{\text{etc.}}=1$.