de permutations dont ces
lettres E sont susceptibles, et qui est
![{\displaystyle 1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd3fbed0f2522b4ae047a1b8acca58d56f72265f)
.
Si les
ou
autres lettres représentent aussi un même événement F, il faudra également diviser ce produit par le nombre de permutations de ces
lettres F, ou par
![{\displaystyle 1\,{.}\,2\,{.}\,3\ldots n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c01a3abcfc22c0e6e2c7589dd6a5dc73145a821)
.
Par conséquent, le nombre de permutations distinctes que l’on peut faire avec
événements E et
événements F, c’est-à-dire la valeur de
qu’il s’agissait d’obtenir, sera
![{\displaystyle \mathrm {K} ={\tfrac {1\,{.}\,2\,{.}\,3\,\ldots \,\mu }{1\,{.}\,2\,{.}\,3\,\ldots \,m\,{.}\,1\,{.}\,2\,{.}\,3\,\ldots \,n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c21cec75d51608b7337a528899f56a9409ce9ef)
.
À cause de
, cette quantité
est symétrique par rapport à
et à
; mais on peut aussi l’écrire sous ces deux autres formes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {K} &={\tfrac {\mu \,{.}\,\mu -1\,{.}\,\mu -2\,\ldots \,\mu -m+1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\,\ldots \,m}},\\\mathrm {K} &={\tfrac {\mu \,{.}\,\mu -1\,{.}\,\mu -2\,\ldots \,\mu -n+1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\,\ldots \,n}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a7d0f836707bf2bef897901000eea343bee6b3)
qui montrent que la probabilité
, ou le produit
, est le terme du rang
dans le développement de
ordonné suivant les puissances croissantes de
, ou le terme du rang
dans ce développement ordonné suivant les puissances croissantes de
.
On conclut de là que dans le cas que nous examinons, où les chances
et
des deux événements contraires E et F sont constantes, celles de tous les événements composés qui peuvent arriver dans un nombre
d’épreuves ont pour expressions, les différents termes de la formule du binome
élevé à la puissance
.
Le nombre de ces événements est
. Ils sont inégalement probables, soit à cause de la multiplicité des combinaisons qui peut les amener et qui est exprimée, pour chacun d’eux, par le nombre
, soit à raison de l’inégalité des chances
et
. Dans le cas de
, l’événement le plus probable est celui qui répond à
, lorsque