est un nombre pair, et l’un des deux qui répondent à
, quand
est un nombre impair.
(15). Soit
la probabilité que E arrivera au moins
fois dans le nombre
d’épreuves. Cet événement composé pourra avoir lieu de
manières différentes, savoir, lorsque E arrivera les nombres de fois
,… et enfin
ou
; les probabilités relatives à ces
manières se déduiront de l’expression précédente de
, en mettant successivement
et zéro,
et 1,
et 2,… jusqu’à
et
, au lieu de ces deux derniers nombres ; d’après la règle du no 10, la valeur complète de
sera donc la somme de ces
probabilités partielles ; et, par conséquent, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} =p^{\mu }+\mu p^{\mu -1}q{}+{}&{\tfrac {\mu \,{.}\,\mu -1}{1\,{.}\,2}}p^{\mu -2}q^{2}+\ldots \\&\ldots +{\tfrac {\mu \,{.}\,\mu -1\,{.}\,\mu -2\,\ldots \,\mu -n+1}{1\,{.}\,2\,{.}\,3\,\ldots \,n}}p^{m}q^{n}\;;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a484365788dc56c6ebb44cd7d928426d0fc6e8)
de sorte que
sera la somme des
premiers termes du développement de
, ordonné suivant les puissances croissantes de
.
Pour
, ou
, on aura
![{\displaystyle \mathrm {P} =(p+q)^{\mu }=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/475145b0a358187d27f662aaf2a75f3cff8db52d)
;
ce qui doit être, en effet, puisqu’alors l’événement composé comprenant toutes les combinaisons de E et F qui peuvent arriver, sa probabilité
doit être la certitude. Pour
, cet événement est le contraire de l’arrivée de F à toutes les épreuves ; et, effectivement, la valeur de
est, dans ce cas, le développement entier de
, moins son dernier terme
; ce qui s’accorde avec la valeur de
du no 8.
Si
est un nombre impair
, et si l’on demande la probabilité que E arrivera plus souvent que F, on la déduira de l’expression générale de
, en y faisant
et
. Si
est un nombre pair
, on obtiendra la probabilité que E arrivera au moins autant de fois que F, en faisant
, dans cette même expression.
(16). Ou déduit aussi de cette formule la solution du premier pro-