droite. De là des géométries non euclidiennes où la somme des angles d’un triangle n’est plus égale à deux droits : dans celle de Riemann, elle est plus petite que deux droits et dans celle de Lobatschewski, elle est plus grande. On peut interpréter ces hypothèses singulières en prenant pour surface fondamentale l’ellipsoïde et l’hyperboloïde à deux nappes.
On a aussi parlé d’une géométrie à plus de trois dimensions et considéré ce qu’on appelle l’hyperespace. Il s’agit simplement des équations à plus de trois variables, mais les calculs ne sont susceptibles d’aucune traduction concrète.
« La géométrie euclidienne est, à leur sens, une première approximation, applicable en toute rigueur aux figures infiniment petites et, avec une approximation suffisante, aux figures finies dont les dimensions ne dépassent pas certaines limites… En dehors de ces limites, la même géométrie usuelle peut au contraire, d’après eux, tomber complètement en défaut, ou conduire aux erreurs les plus grossières pour des figures assez grandes. »
Des trois axiomes de la géométrie, le premier seul (celui de la distance et de ses propriétés essentielles) est un axiome principal, c’est-à-dire indispensable pour l’établissement d’un système quelconque de géométrie. Les deux autres (celui de l’augmentation indéfinie de la distance et celui de la parallèle unique) sont secondaires ou de simplification. Ils servent uniquement à
