Ainsi, en additionnant ou en soustrayant des nombres entiers, on obtiendrait une fraction.
La faute provient de ce que la série n’est pas convergente ; la somme des termes est alternativement 1, 0, 1, 0, etc.
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Le sophiste Zénon prouvait ainsi qu’Achille ne rattrapera jamais la tortue, qui a une lieue d’avance, quoiqu’il marche dix fois plus vite : lorsqu’Achille a fait la première lieue, la tortue a fait 1/10 de lieue et garde ainsi une avance de 1/10 de lieue ; lorsqu’Achille fait ce 1/10 de lieue, la tortue fait un 1/10 de ce dixième de lieue et garde ainsi une avance de un centième de lieue ; lorsqu’Achille fait ce centième de lieue, la tortue fait 1/10 de ce centième et garde ainsi une avance de un millième de lieue, etc., indéfiniment. La tortue ne sera jamais atteinte, puisqu’elle aura toujours une avance égale au dixième du chemin qu’aura parcouru Achille.
Quiconque connaît la limite de la somme des termes d’une progression géométrique décroissante voit le vice de ce singulier raisonnement.
Consulter le mémoire de M. Brochard sur les arguments de Zénon contre le mouvement. Outre l’Achille, il y en a trois autres : la Dichotomie, la Flèche, et enfin le Stade.
Voir aussi l’étude de M. Frontera sur le même sujet.
