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§35. PROBABILITY LOGIC 323

Une formule similaire est développée pour l’implication. On montre qu’elle est

$P(a\supset b)=1-P(a)+P(a\,.b)$ (2)

Ce cas diffère de celui de la disjonction dans la mesure où deux indications, la probabilité de $a$ et celle du produit $a\,.b$, suffisent à déterminer la probabilité de l’implication ; cette dernière probabilité s’avère indépendante de la probabilité de $b$. On ne peut cependant pas remplacer l’indication de $P(a\,.b)$ par celle de $P(b)$ ; cela laisserait la probabilité de l’implication indéterminée.

Pour l’équivalence, l’équation est

$P(a\equiv b)=1-P(a)-P(b)+2P(a\,.b)$ (3)

Dans ce cas, les trois probabilités $P(a)$, $P(b)$ et $P(a\,.b)$ sont à nouveau nécessaires pour déterminer la probabilité du terme du côté gauche de l’équivalence.

Ce n’est que pour la négation ${\bar {a}}$ que l’on obtient une formule similaire à celle de la logique alternative :

$P({\bar {a}})=1-P(a)$ (4)

La probabilité de $a$ suffit à déterminer celle de ${\bar {a}}$.

Ces formules indiquent une structure logique plus générale que celle de la logique bivalente ; elles la contiennent cependant comme un cas particulier. On le voit aisément : si l’on restreint la valeur numérique de $P(a)$ et $P(b)$ aux nombres $1$ et $0$, les formules ($1$)-($4$) fournissent automatiquement les relations bien connues de la logique à deux valeurs, telles qu’elles sont exprimées dans les tables de vérité de la logistique ; il suffit d’ajouter la table de vérité à deux valeurs pour le produit logique $a\,.b$, qui, dans la logique alternative, n’est pas donné indépendamment mais est une fonction de $P(a)$ et $P(b)$.^[1]

1. On peut montrer que pour le cas particulier des valeurs de vérité restreintes à $0$ et $1$, la valeur de vérité du produit logique n’est plus arbitraire mais déterminée par d’autres règles de la logique des probabilités (cf. Wahrscheinlichkeitslehre, § 73).