Sous les réserves que nous avons faites plus haut, nous rattacherons à trois directions principales la phase du développement des mathématiques dont nous allons essayer de décrire brièvement l'histoire. Tout d’abord nous étudierons la généralisation de la théorie des opérations : cette généralisation constitue la partie formelle de la théorie, mais elle a eu, croyons-nous, une influence profonde sur la formation d’idées d’un caractère plus concret. Leibniz, comme nous le verrons, semble avoir été le premier à étudier les lois formelles des opérations (ressemblance entre les formules qui donnent le développement de la puissance d’un binôme et la dérivée d’un produit de deux fonctions). Ces recherches se rattachaient, d’ailleurs, aux conceptions du philosophe relatives à la logique formelle. Servois, au commencement du xix’ siècle, devait chercher à formuler les propriétés générales des opérations : commutativité, associativité. Il y a, d’ailleurs, chez Servois, comme l’a remarqué M. Pincherle. une certaine confusion entre l'opération et la fonction: mais cette confusion, pourrions-nous dire, fut heureuse : car le mouvement d’idées que nous décrivons devait aboutir précisément à considérer l'opération comme un objet (une sorte de fonction) : on parlera de l’égalité, de l’univocité des opérations, et aussi de leur commutativité, de leur associativité, etc. C’est à cette conception, sous sa forme généralisée, que sont arrivés MM. Pincherle et Bourlet. M. Bourlet, par exemple, appellera transmutations une classe très générale d’opérations que l’on définira de la manière suivante : on dira qu’on a défini une transmutation quand on a donné un moyen de faire correspondre à toute fonction, une ou plusieurs fonctions. Le changement de variable, la dérivation, l’intégration sont des transmutations. L’opération est devenue une correspondance fonctionnelle.
Le second courant d’idées que nous allons étudier et qui s’est développé tantôt parallèlement au premier, tantôt en s’y mêlant, a une importance considérable. Les idées dont nous allons nous occuper maintenant sont en elTet les idées qui sont à la base même du calcul infinitésimal. M. Volterra dans sa leçon d’ouverture du cours professé à la Sorbonne en 1912, a admirablement montré comment les théories que lui, Fredholm, Hadamard, ont créées dans ces dernières années, se rattachent aux éléments mêmes de l’analyse infinitésimale et en sont, en quelque sorte, le développement nécessaire. Nous ne reprendrions pas ce développement, si nous étions sûr que
