blème d’intégration, on étudiera, en lui-même, un groupe de substitutions linéaires et on recherchera les fonctions invariantes par un tel groupe.
Mais il s’en faut que tous les groupes de substitutions linéaires puissent être ainsi utilisés. Sans énoncer ici la condition qu’ils doivent remplir à cet effet, contentons-nous de la forme géométrique que lui a donnée Poincaré. Cette condition implique l’existence d’un certain polygone limité par des arcs de cercles, le polygone générateur, qui est au groupe ce que le parallélogramme des périodes est à la périodicité des fonctions elliptiques. Autrement dit, une série de polygones de cette espèce, tous homologues entre eux, c’est-à-dire dérivant les uns des autres par les substitutions du groupe, vont recouvrir exactement sans lacune ni chevauchement, le plan, ou plutôt une région déterminée de ce plan (l’intérieur d’un cercle s’il s’agit de groupes fuchsiens), comme le faisait dans le cas des fonctions elliptiques le quadrillage formé par les parallélogrammes successifs.
On trouve aisément des conditions nécessaires que doit remplir le polygone pour qu’un tel recouvrement ait lieu. Mais avec la question de savoir si ces conditions sont suffisantes apparaît une première difficulté de cette théorie. Elle offre à Poincaré l’occasion d’un de ces beaux rapprochements dont il a été question plus haut. C’est, en effet, la géométrie non euclidienne qui lui fournit la démonstration demandée. Il introduit, dès ce moment, l’image qui est aujourd’hui dans toutes les mémoires et par laquelle il établit la légitimité de cette géométrie en montrant que tous les théorèmes auxquels elle conduit peuvent se traduire en théorèmes de la géométrie ordinaire. Il se trouve que ces derniers sont ceux dont il a besoin en l’occurrence.
A tout polygone générateur vérifiant la condition dont nous avons parlé tout à l’heure, correspond un groupe linéaire. Poincaré montre que s’il en est ainsi, on peut obtenir également des fonctions invariantes, et, ce qui n’est pas moins essentiel, il en fournit l’expression.
Les fonctions fuchsiennes sont formées.
La nouvelle notion ainsi créée, si supérieure en généralité, en extension, à celles sur le modèle desquelles elle avait été édifiée, ne leur cède en rien sous le rapport de la compréhension. Toutes les
