propriétés dont l’imposant ensemble forme la théorie des fonctions elliptiques trouvent, à peu d’exceptions près, leurs analogues.
Et pour aller tout de suite à la plus remarquable, les fonctions fuchsiennes présentent, comme les fonctions elliptiques, ce caractère que deux quelconques d’entre elles, appartenant au même groupe, sont liées par une relation algébrique.
Mais, dans le cas des fonctions elliptiques, cette relation est forcément très particulière.
Ce qui fait l’importance des fonctions fuchsiennes, c’est que toute équation algébrique à deux variables données peut être obtenue par ce moyen.
Dans la démonstration de ce fait résidait une autre, la plus profonde peut-être, des grandes difficultés du problème. Mais, par contre, c’est cette grandiose proposition qui, suivant l’expression de M. Humbert, apportait « les clefs du monde algébrique » en versant sur les propriétés les plus cachées des courbes algébriques quelconques la même lumière dont les fonctions elliptiques avaient éclairé celles des courbes du troisième degré.
Il y a plus. Les fonctions fuchsiennes ne permettent pas seulement d’exprimer les fonctions algébriques. Moyennant une nouvelle extension de la méthode, elles conduisent à l’intégration de toutes les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques. Il suffit, pour cela, d’introduire un nouvel algorithme, généralisation du premier : les fonctions zêta fuchsiennes.
Ainsi, ce que les fonctions elliptiques et abéliennes avaient donné pour le problème des quadratures, la théorie nouvelle le fournit pour le problème, beaucoup plus général et beaucoup plus difficile, de l’intégration des équations différentielles linéaires.
Les fonctions fuchsiennes ont déjà été à plusieurs reprises appliquées au perfectionnement de la théorie des fonctions algébriques. Poincaré lui-même s’en est servi et a, par leur moyen, résolu plusieurs des questions qu’il s’était posées sur les fonctions abéliennes.
Mais si notables que soient les progrès qu’il a ainsi fait faire à l’étude des transcendantes particulières connues avant lui, il importe avant tout de passer en revue ceux que lui doit la théorie générale.
