464 REVUE DE MÉTAPHYSIQUE ET DE MORALE.
De deux nombres, celui qui est avant l’autre dans la série lui est dit inférieur, et le second est supérieur au premier, sans que ces mots entraînent aucune comparaison de grandeur, notion étrangère aux nombres ordinaux.
Par définition, pour ajouter b à a, on applique la suite des nombres de 1 à b inclusivement sur la suite des nombres qui viennent’ après le nombre a, et le nombre c sur lequel s’applique b est dit la somme de a et de b, ce qu’on écrit a + b = c. De là résulte que chaque nombre (sauf le premier, 1) peut être regardé comme formé en ajoutant i à celui qui le précède.
Cela. posé, nous n’insisterons pas davantage sur les propriétés de l’addition qu’on trouvera développées dans l’article de M. Poincaré Sur la nature du raisonnement mathématique1. Pour passer de l’idée de nombre ordinal à celle de nombre cardinal, on a recours à. la considération d’une collection d’objets distincts faisant correspondre successivement ces divers objets aux nombres ordinaux successifs à partir de 1, le dernier des nombres ordinaux ainsi employés, n, est, par définition, le nombre cardinal de la collection.
Cette définition toutefois, pour avoir une portée véritable, suppose ce qu’on a appelé le postulat de l’invariance du nombre, postulat consistant en ce que n est indépendant de l’ordre dans lequel on a fait l’application des objets composant la collection sur la suite des nombres ordinaux. Pour démontrer ce postulat, Helmholtz remarque que, sans changer l’ensemble des nombres ordinaux employés, on ’peut permuter entre eux deux objets quelconques, et que la répétition de cette opération permet d’obtenir tel ordre que l’on veut des objets composant la collection.
On doit remarquer que cette théorie du nombre cardinal ne comporte’pas de nombre infini, puisque sa définition suppose un dernier terme dans l’application sur la suite des nombres ordinaux. . Renne de Métaphysique et de Morale, 1804, p. 371. Dans une note provoquée par cet article de M. Poincaré (1894, p. 709), nous nous sommes mépris sur le véritable caractère de sa théorie en n’y voyant que ce que M. Couturat appelle la théorie empiriste. JI résulte de son récent article Réponse à quelques object ions, janvier 1 897) qu’elle en diffère notablement. Nous ne saurions entrer ici dans la discussion de ce symbolisme extrêmement intéressant mais nous croyons devoir noter que la définition donnée de l’égalité ne parait pas toutà fait suffisante, car on ne saurait en déduire ce que M. Couturat appelle l’axiome à (p. 371), axiome dont il est fait application par M. Poincaré dans ses jeux d’écriture.
