G. lechalas. De l’infini mathématique. 463
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Rev. Meta. T. V. – 1S97..30
partie s’ouvre naturellement par un livre consacré à l’idée de nombre et dont trois chapitres sur quatre traitent du nombre entier. Il y a là, semble-t-il, interversion de l’ordre logique, car il paraîtrait plus naturel d’étudier le nombre entier avant d’en faire connaître les généralisations. M. Couturat n’a d’ailleurs pas été sans entrevoir ce que l’ordre adopté par lui pouvait avoir de surprenant ; aussi en a-t-il donné, un peu implicitement, l’explication suivante dans la première partie de sa thèse, il a essayé de justifier l’infini mathématique a posteriori, au’ moyen de la science toute faite ; dans la deuxième, il justifie la même idée a priori en analysant les idées de nombre et de grandeur. « ̃̃
Sans méconnattre ce que cette explication a de plausible,-nous préférons commencer notre étude par l’examen de l’idée de nombre entier, base essentielle de sa propre généralisation.. • ̃ 1
L’idée de nombre ENTIER.
Le premier chapitre est consacré à l’exposé de la théorie empiriste du nombre entier ; comme nous le verrons à propos de sa critique, elle est donnée, par ses adeptes, comme essentiellement apriorique. Le système des nombres ordinaux est simplement une suite de signes, tous différents les uns des autres, tels qu’il y en ait un qui soit le premier de tous et qu’à chacun d’eux en corresponde un autre déterminé qui le suit immédiatement. Ces signes ne signifient rien, sont de pures écritures répondant aux conditions précédentes. îï. Couturat définit, dans ce système, l’égalité de deux nombres par leur identité c’est le même signe écrit deux fois, diUil. Cette définition ne permet pas de comprendre comment on peut écrire a = b, car a et b étant deux nombres doivent figurer dans notre ̃ série, et l’on ne saurait dire qu’ils sont deux signes identiques. IL • faut donc développer cette définition trop laconique nous verrons que toute opération sur des nombres donnés consiste à passer d’un nombre à un autre suivant certaines lois, et le résultat de l’opération est le nombre sur. lequel on s’arrête. Dès lors, étant posées deux opé- ̃, rations quelconques, si nous appelons a le résultat de l’une et b le résultat de l’autre, l’égalité a = b signifie que, dans les deux cas, on a abouti au même terme de la série numérale. On en conclut que si a = b et b = c, on aussi a = c.
