G. LiiCHALAS. – De l’infini mathématique. 487
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toutes les valeurs, et c’est ce qui fait que notre critique laisse subsister tous les résultats scientifiques de la doctrine du continu. Aussi n’éprouvons-nous aucun embarras à reconnaitre le rôle prédominant que cette conception a joué dans le développement de la pensée mathématique ; mais nousnevoudrions pas cependant que ce rôle fût exagéré, ni surtout qu’on lui conférât un caractère de nécessité qui ne lui appartient pas. Au point de vue historique, M. Couturat reconnaît que les nombres qualifiés et complexes ont eu une-origine algébrique, et, si l’onajoute à cela que la généralisation arithmétique ’̃ en fournit ensuite une interprétation pleinement satisfaisante, on voit qu’à leur égard on peut se passer des grandeurs d’une façon aussi rationnelle que logique, pour employer une distinction qui lui ̃. est chère. Restent les nombres fractionnaires et incomniensurables, pour lesquels on peut, il le reconnaît, s’en passer logiquement, mais pour lesquels les grandeurs fournissent incontestablement une origine plus naturelle, ce qui n’a d’ailleurs, répétons-le, qu’une médiocre portée philosophique, si l’on admet avec nous que cette notion de grandeur continue, une fois écartés les fantômes de la sensibilité, ne sont, logiquement, que des constructions reposant sur des indivisibles, c’est-à-dire des entiers.
Nous pouvons montrer, du reste, dès maintenant comment on peut arriver très simplement à la notion ordinaire des frastions en ne considérant que des nombres entiers et sans avoir recours à des combinaisons à apparence arbitraire comme celles qui engendrent ce qu’on appelle la généralisation arithmétique. Les considérations qui suivent nous inspirent d’autant plus confiance qu’elles sont 3 venues aussi, sous une forme un peu différente, à l’esprit de M. Calinon, qui les a appliquées à la théorie empirique, c’est-à-dire les a fait servir à intercaler de nouveaux nombres dans la suite des nombres ordinaux. Ce qu’il nous a communiqué à ce sujet nous a même grandement aidé à préciser notre pensée.
Nous avons vu M. Couturat insister sur ce que, pour former un nombre, les unités composantes doivent être soumises aune syn- 3 thèse qui en constitue une nouvelle unité. Dès lors, rien n’est plus naturel que de grouper plusieurs de ces unités multiples pour en former un nouveau nombre c’est ainsi que de 18 000 haricots je puis former l’idée de 15 sacs contenant chacun 1000 haricots, ces derniers étant considérés comme des unités indivisibles. Ceci posé,
