pas un raisonnement analytique. Mais le raisonnement, mathématique ne devient rigoureux que quand la forme pure a été vidée de toute matière.
Si j’avais étudié un de ces raisonnements que l’on faisait il y a cinquante ans, avant que ce travail d’épuration ne fût terminé, je n’aurais rien prouvé ; j’aurais montré sans peine qu’un pareil raisonnement n’est pas analytique, mais comme il n’est pas rigoureux, cela n’aurait pas montré qu’un raisonnement peut être rigoureux sans être analytique.
D’autre part, j’ai rejeté toute démonstration ou toute définition qui ne serait pas intelligible en dehors d’un mode particulier de représentation spatiale.
M’étant efforcé de me débarrasser de toute représentation matérielle, je m’étonne qu’on puisse prétendre qu’en n’en choisissant aucune, j’en ai « imposé » une ; que je suis forcé, pour être logique, de l’adopter avec toutes ses conséquences, à tel point que je n’ai plus le droit de considérer les nombres positifs en laissant de côté les nombres négatifs.
« On doit noter, d’autre part, dit M. Lechalas, que ces démonstrations supposent qu’on ait le droit de faire subir aux égalités certaines transformations dont la légitimité résulte de nos définitions ».
Est-ce à dire que, faute de définitions précises, les transformations que j’ai faites n’étaient pas légitimes ? Oui, peut-être, si j’avais eu pour but de démontrer certaines propriétés des pluralités. J’aurais dû alors démontrer d’abord, par exemple, que deux quantités égales à une même troisième sont égales entre elles, etc., justifier en d’autres termes deux ou trois règles tout à fait analogues à celles de la logique formelle. Pour cela, j’aurais dû, ou bien adopter des définitions précises et montrer qu’elles sont d’accord avec ces règles, ou bien, comme le fait Helmholtz, prendre ces règles elles-mêmes pour définitions de l’égalité et de l’opération.
Mais ce n’est pas cela que j’ai voulu faire ; je ne me suis pas préoccupé de justifier ces règles, je les ai admises ; et je me suis demandé si un raisonnement mathématique était une simple application de ces règles convenablement combinées ; il aurait alors été purement analytique, puisque ces règles le sont elles-mêmes.
Mes écritures sont-elles dénuées de signification ? Oui, si le nombre 5
