i,. couturat.,– Sur l’hypothèse des atomes. -.93 leur rapport es.t indéterminé, et par conséquent la- dérivée n’existe e, pjus. – C’est ici qu’est l’erreur la dérivée n’e.st pas ’définie comme le rapport des deux différentielles, mais,comme la limile.du rapport des différences .finies Ay, A*, quand celles-ci tendent vers ’zéro. – On nous objecte encore comment cette limite peut-elle exister, alors que Ay et Àa ? sont nuls, et que, par suite’, leur rapport devient indéterminé ?– C’est justement là la vertu propre du calcul des limites, et en général, du principe de continuité, de déterminer la valeur d’une fonction là où elle n’est pas définie, bu du moins, n’est • pas déterminée.-
Pour montrer qu’une, grandeur .peut être définie par confinai té, i~’ë c !est-à-dire comme limite d’une grandeur variable, là même où celle-ci cesse d’exister1, on peut se servir, d’un exemple géométrique i,~ qui n’est que la traduction figurée de .la dérivée. La tangente à une ’Ë b ..p e
courbe en un point M est, par définition, la limite d’une sécante qui passe par ce point’ fixe, quand son autre point.de .rencontre avec -la courbe, M’ en se déplaçant d’une manière continue sur le mêm’e arc de courbe, vient coïncider avec M. Assurément, les deux’ points M et îl confondus en un seul, ne déterminent plus alors une droite ; la tangente n’en est pas moins rigoureusement déterminée. comme ppsition-limite de la sécante, au moins dans’ certains cas’ très. gé.n.éraux (les mêmes pour,. lesquels il. existe une dérivée, au, point M>). ~ ? .(~ ,0n conçoit donc que. la..dérivée," dont’ cette tangente est en quelque sorte l’image, ait une valeur bien déterminée, que l’oirpeut calculer au moyen de sa définition. Or la définition de la tangente suppose a.. ue
essentiellement que la courbe est continue, et que le point M’ peut venir coïncider avec le point M, c’e&t-à-dire que leur distance peut s’annuler. De même, l’existence de la dérivée, loin, d’impliquer Une valeur finie des différentielles ; exige au contraire que les infiniment petits qui figurent dans sa définition puissent décroître sans fin et atteindre leur limite zéro. On sait d’ailleurs que, pour qu’une fonce ët-iZ n~sliffü~ : as-e `c rè.
tion ait une dérivée,. il faut (et il. né suffit pas encore) qu’elle, soit continue.- Ainsi la’ notion même de ’dérivée implique la "continuité, et non la discontinuité. ̃ J’ ~ ?M~
II en est de même ’pour l’intégrale, qui se définition pas comme la somme d’un nombre fiai d’éléments, finis, mais, comme.. la limite d’une telle somme, quand ces éléments s’annulent et que leur . Cf. De l’Infini mathématique, Noie II, 9. 10. •
