Le livre de M. Russell (An Essay on the Foundations of Geometry, Cambridge University Press, 1897) a été analysé ici-même par M. Couturat (mai 1898), qui en a fait un éloge peu banal. Bien que ce volume contienne des pages excellentes, je ne saurais accepter sans réserve cette appréciation et je voudrais expliquer succinctement pourquoi.
L’ouvrage comprend une partie critique (chapitres I et II) et une partie dogmatique (chapitres III et IV) ; c’est cette dernière que je vais examiner d’abord.
La théorie de M. Russell repose sur la distinction de la géométrie projective et de la géométrie métrique, entre lesquelles il signale les différences suivantes
1o La géométrie projective est entièrement a priori, tandis que la géométrie métrique est en partie empirique.
2o La géométrie projective est indépendante de l’idée de mouvement, qui est impliquée par la géométrie métrique.
3o La géométrie projective est qualitative, la géométrie métrique quantitative.
Pour nous rendre compte de ce qu’on doit penser de ces trois propositions, et surtout de la première, nous devons examiner ce que dit M. Russell de la géométrie projective d’abord et de la géométrie métrique ensuite.
M. Russell énonce comme il suit les axiomes fondamentaux de la géométrie projective (p. 132, § 122) :
