« I. Nous pouvons distinguer différentes parties de l’espace, mais toutes ces parties sont qualitativement semblables, et ne se distinguent que par le fait immédiat qu’elles sont en dehors les unes des autres.
II. L’espace est continu et divisible à l’infini le résultat de la division infinie, ou le zéro d’étendue, s’appelle point.
III. Deux points quelconques déterminent une figure unique, appelée ligne droite ; trois points quelconques déterminent en général une figure unique, le plan. Quatre points quelconques déterminent une figure analogue à trois dimensions, et, jusqu’à preuve du contraire, il peut en être de même pour un nombre quelconque de points. Mais ce processus a, tôt ou tard, une fin, pour un certain nombre de points qui déterminent la totalité de l’espace[1]. »
Nous avons alors deux questions à examiner :
1o Ces axiomes suffisent-ils pour constituer la géométrie projective, ou faut-il en ajouter d’autres ? est-il nécessaire d’en compléter l’énoncé et tout au moins de le préciser et de l’éclaircir ?
2o Ces axiomes sont-ils, comme le prétend M. Russell, des conséquences nécessaires de l’existence d’une forme d’extériorité et des conditions indispensables de toute expérience ?
Commençons par la première question et cherchons d’abord le sens du premier axiome. Toutes les parties de l’espace sont qualitativement semblables : un point est qualitativement semblable à un autre point, une droite à une droite, un plan à un plan. Qu’on y prenne bien garde toutefois : la géométrie projective n’exige pas seulement que deux points ou deux plans quelconques, au sens ordinaire de ces mots, soient regardées comme qualitativement semblables. Il faut encore qu’un « point à l’infini » (pour parler le langage des géomètres projectifs) soit qualitativement équivalent à un point
- ↑ « I. We can distinguish différent parts of space, but all parts are qualitatively similar, and are distinguished only by the immediate fact that they lie outside one another.
II. Space is continuous and infinitely divisible ; the result of infinité division, the zero of extension, is called a point.
III. Any two points determine a unique figure, called a straight line, any three in general determine a unique figure, the plane. Any four determine a corresponding figure of three dimensions, and for aught that appears to the contrary, the same may be true of any number of points. But this process comes to an end, sooner or later, with some number of points which determine the whole of space. »
