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dues. En ce qui concerne les équations différentielles, Cauchy, pour établir son théorème fondamental concernant l’équation

${\frac {dy}{dx}}=f(x,y)$

où le second membre est holomorphe au voisinage des valeurs initiales $x_{0}$, $y_{0}$, s’était placé un point de vue purement local. On aborda bientôt l’étude des cas où le théorème de Cauchy tombe en défaut, comme dans le cas où le second membre de l’équation se présente sous une forme indéterminée (Briot et Bouquet). Mais c’est M. Painlevé qui le premier abandonna le point de vue local de Cauchy. « On sait, dit-il, étudier les intégrales d’une équation d’ordre quelconque au voisinage de la valeur initiale $x_{0}$. Mais lorsque $x$ s’éloigne de $x_{0}$ pour varier d’une façon quelconque dans son plan, comment se comporte la solution ? »

Rappelons brièvement les résultats obtenus par M. Painlevé dans le cas de l’équation

${\frac {dy}{dx}}={\frac {P(x,y)}{Q(x,y)}}$(2)

où P et Q sont les polynômes en $y$. « Les points singuliers transcendants des intégrales de cette dernière équation sont les mêmes pour toutes ces intégrales (indépendants de la valeur initiale $y_{0}$ de l’une des intégrales). » La situation de ces points singuliers fixes dépend des coefficients des puissances de $y$ dans ${\frac {P(x,y)}{Q(x,y)}}$. M. Painlevé montre ensuite que les intégrales de l’équation de Riccati $({\frac {dy}{dx}}=A_{0}+A_{1}y+A_{2}y^{2})$ sont les seules qui ne présentent pas d’autres points singuliers que les points fixes. L’équation de Riccati est aussi la seule dont les intégrales sont des fonctions uniformes de $x$. M. Painlevé établit encore que, si les intégrales d’une équation (2) sont des fonctions à un nombre fini de branches, l’équation (2) se ramènera à une équation de Riccati par un changement de variable rationnel.

M. Boutroux se propose d’étudier le cas beaucoup plus général où les intégrales de l’équation différentielle présenteront une infinité de branches et une infinité de points singuliers. « Nous ne saurons donc pas, d’ordinaire, former une expression analytique qui représente ces fonctions pour toutes les valeurs de la variable… Nous nous demanderons quel est le mode de croissance, l’allure d’une branche d’intégrale lorsque $x$ s’approche d’un point singulier transcendant… D’une manière générale, nous examinerons le mécanisme des permutations qui échangent entre elles les diverses branches d’intégrales. »

Étude d’une branche d’intégrale isolée au voisinage d’un point singulier transcendant. L’auteur borne son étude à l’examen de l’équation

${\frac {dy}{dx}}={\frac {M(x,y)}{N(y,x)}}$(3)

où M et N sont des polynomes par rapport à $y$ et par rapport à $x$. Il suppose le point singulier transcendant renvoyé à l’infini. Il cherche donc « à étudier l’allure des branches d’intégrales de l’équation (3), lorsque le module de $x$ augmente indéfiniment ». Voici sommairement résumés les principaux résultats qu’il obtient. Soient $p$ et $g$ les degrés des polynomes $M$ et $N$. L’auteur distingue deux cas, selon que $p-q=1$, ou $p-q\neq 1$. « Le premier cas se divise en deux sous-cas selon que le degré du coefficient du terme $y^{p}$ de $M$ est supérieur ou égal ou bien inférieur au coefficient du terme $y^{p-1}$ de $N$. Dans la première alternative les branches d’intégrale de l’équation considérée se comportent comme des exponentielles. Leur croissance est dite du type exponentiel. Mais si le degré du coefficient du terme $y^{p}$ de $M$ est inférieur à celui du terme $y^{p-1}$ de N, on ne peut donner la solution générale ; on trouvera une solution analogue à celle du cas précédent quand certaines conditions seront vérifiées.

Cas où $p-q\neq 1$. En nous en tenant au résultat final, indiquons qu’on démontre qu’une branche d’intégrale de l’équation considérée croit moins vite qu’une puissance finie de $x$. On convient de dire alors que la croissance des intégrales est du type rationnel. Remarquons avec M. Boutroux que ce dernier résultat est très général, car il donne seulement une limite supérieure du module de la branche d’intégrale. Pour obtenir des résultats plus précis l’auteur examine des exemples particuliers.

Dans le second chapitre de son ouvrage, M. Boutroux cherche à définir et à classer les points singuliers transcendants, et il étudie le mécanisme de l’échange des branches d’intégrales autour de ces points. Nous ne pourrions, sans entrer dans des considérations trop techniques, exposer la classification des points singuliers transcendants en points de 1^re et de 2^e espèce développée par M. Boutroux. Signalons aux lecteurs philosophes que dans l’examen du mécanisme de l’échange des branches d’intégrale, on étudie principalement certains ordres de successions dans les permutations, ce sont ces ordres de succession qui caractérisent les inté-