ones dont on double sans cesse le nombre des côtés (Archimède opéra sur des polygones de 12, 24, 48, 96 côtés), puis en calculant en fonction du rayon les périmètres de ces polygones, on trouve des valeurs, l’une trop grande, l’autre trop petite, entre lesquelles est nécessairement comprise la longueur de la circonférence, et qui, à mesure que le nombre des côtés polygonaux augmente, enserrent de plus en plus la valeur cherchée comme entre les branches d’un étau lentement resserré.
Archimède montra ainsi que la valeur de π est comprise entre et , ce qui donne cette valeur avec deux décimales exactes.
Il faut attendre ensuite jusqu’à la Renaissance pour voir la question faire quelques progrès. Les Arabes, pourtant très mathématiciens, s’en occupèrent peu. Mais au xvie siècle, il y a un renouveau pour la quadrature du cercle.
En 1586, Métius fait connaître la valeur , qui est exacte jusqu’à la sixième décimale. Divers mathématiciens, en employant toujours la méthode d’Archimède plus ou moins perfectionnée, augmentent l’approximation et le nombre des décimales exactes.
Mais on cherchait toujours, non pas seulement une solution approchée, mais la solution rigoureuse. Charles-Quint promit 100 000 écus à qui la trouverait ; les États Hollandais promirent également de fortes sommes d’argent. Tout cela enflamme les imaginations, et l’appât du lucre multiplie le nombre des chercheurs. Scaliger affirme avoir trouvé la solution. Viete (qui lui-même a calculé π avec neuf décimales exactes) le réfute. D’où discussion très aigre dont tout le monde se mêle et qui occupe le siècle autant que peut le faire de nos jours, — est-ce un progrès ? — une affaire de lettres anonymes ou de femmes brûlées.
Alors sévit une vraie folie des quadratures ; l’esprit d’illumination s’en mêle. Un négociant de la Rochelle, Delaleu, fait paraître une solution et explique que « c’est celle de la quadrature du temple céleste, tandis que la duplication du cube était celle de l’autel élémentaire terrestre et aquatique d’où découle la conversion des Juifs et des idolâtres, et qu’ainsi la religion avait besoin de la manifestation de cette vérité qui lui avait été communiquée (à lui Delaleu) par révélation divine. » Des géomètres sollicités par l’autorité religieuse montrent à l’inventeur son erreur.
