deux variables indépendantes constitue une surface (élément à deux dimensions).
Tout ensemble de points qu’on peut rattacher aux variations de trois variables indépendantes constitue un espace (élément à trois dimensions).
L’espace ne possède que trois dimensions.
Les notions qui précèdent, déjà tirées de l’expérience, ne suffisent pas à asseoir les bases de la géométrie ; il faut encore connaître quelque ligne simple, quelque surface simple, et définir comment l’espace se distribue autour d’elles. Ce sera l’objet des axiomes ou postulats que je vais examiner maintenant.
IV. Les axiomes ou postulats. Premier postulatum. — L’existence de la ligne droite.
Étant donnés dans l’espace, deux points A, B, on peut les joindre par une infinité de lignes différentes ; chacune de ces lignes une fois tracée, et envisagée comme un ensemble invariable, peut occuper une infinité de positions différentes, en pivotant sur ses extrémités A et B ; mais, nous admettons qu’il existe entre A et B une certaine ligne, qui soumise au même pivotement ne cesserait pas de coïncider avec elle-même ; d’où la définition bien connue de la ligne droite :
« La ligne droite est une ligne telle que par deux de ses points on n’en peut faire passer qu’une. »
Il résulte de cette définition, qu’elle est encore vraie, si on remplace les points A et B par deux points intermédiaires.
Deuxième postulatum. — Une ligne droite peut être prolongée indéfiniment dans deux sens différents.
Troisième postulatum. — Elle est formée d’une infinité de portions identiques entre elles.
Quatrième postulatum. — L’existence du plan.
Nous admettons qu’il existe une surface telle que si l’on réunit deux quelconques de ses points par une ligne droite, celle-ci reste tout entière contenue dans la surface.
On peut aussi considérer un plan comme le lieu des positions successives d’une droite mobile qui s’appuierait sur un point et sur une droite fixes.
Le plan est indéfini, puisqu’il contient des droites indéfinies.
Cinquième postulatum. — Distribution de l’espace de part et d’autre d’un plan.
Nous admettons qu’un plan partage l’espace en deux régions caractérisées de la manière suivante :
