Si on considère deux points appartenant à une même région, la droite limitée, terminée à ces deux points, ne perce pas le plan. Au contraire, si on considère deux points pris dans l’une et dans l’autre région, la droite limitée qui les réunit percera le plan en quelque point intermédiaire.
Sixième postulatum. — Distribution d’un plan départ et d’autre d’une droite d’un plan.
Une droite indéfinie XY partage un plan en deux régions ainsi caractérisées :
Si l’on réunit par une droite deux points pris dans la même région, la droite limitée ainsi tracée ne coupe pas la droite XY ;
Si on choisit au contraire deux points appartenant à chacune des deux régions, la droite limitée qui les réunit percera la droite XY en quelque point intermédiaire.
Septième postulatum. — Double mode de superposition des angles plans.
Cet axiome n’est presque jamais énoncé dans les traités usuels, et je m’y arrêterai un moment.
On définit deux figures égales, deux figures qui peuvent être amenées sans cassure, et par un simple déplacement relatif, à se superposer l’une l’autre ; mais dans certains cas, plusieurs modes de superposition sont possibles, et il y a alors plusieurs manières de faire correspondre les points d’une figure aux points de son égale.
Ainsi on définit deux angles égaux XOY, X’O’Y’ deux angles superposables, c’est insuffisant ; supposons en effet les angles couchés sur le même plan, on peut amener par glissement l’un des angles sur l’autre et cela d’une seule manière ; mais auparavant on peut renverser l’angle mobile et l’amener ensuite sur l’autre par glissement ; dans le second cas, les faces en regard ne seront pas les mêmes que dans le premier cas.
Ce double mode de superposition que nous regardons comme évidemment possible est encore une vérité expérimentale.
On peut d’ailleurs distinguer les deux modes de juxtaposition par la notion d’orientation : il suffit de lier à l’angle un observateur dont la gauche et la droite pourront servir à distinguer les deux faces du plan.
Cette orientation, trop souvent déguisée dans les ouvrages de géométrie, ne contribue pas peu à décourager les débutants.
Huitième postulatum. — L’existence du déplacement de rotation.
Nous avons admis, pour définir la ligne droite, qu’une figure peut pivoter sur deux de ses points maintenus fixes.
Nous allons maintenant préciser ce pivotement : concevons une
