figure plane, par exemple un triangle MXY, orienté comme on vient de le dire ; nous admettons comme un fait que ce triangle peut pivoter sur deux de ses sommets X, Y, et se mouvant sans cesse toujours vers un certain côté de l’une de ses faces, revenir néanmoins à sa position de départ ; nous admettons de plus que ce mouvement est :
1o Déterminé ;
2o Fini.
En sorte qu’en prenant un certain angle dièdre arbitraire comme unité, et en l’ajoutant un nombre suffisant mais fini de fois à lui-même, on trouvera une position ultérieure de ce dièdre qui comprendra dans son intérieur la position primitive du triangle MXY.
Remarque. Il est facile de déduire de là, la possibilité du renversement d’une figure plane, autour d’une droite de ce plan ; on en déduit encore, grâce aux axiomes 5 et 6, la réciprocité de situation de deux droites perpendiculaires.
Neuvième axiome. — Postulatum d’Euclide.
Tous les faits qu’on vient de rappeler se rapportent ; i deux notions fondamentales, la distribution linéaire et la distribution angulaire de l’espace.
Mais quel lien établir entre les mesures linéaires et les mesures angulaires ? Un autre principe est ici nécessaire.
Considérons dans un plan, une droite indéfinie XY et un point O, extérieur à cette droite. Menons de sur XY, la perpendiculaire dont l’existence résulte des faits précédents. Du pied P de cette perpendiculaire pris comme point de départ, cheminons indéfiniment sur la droite dans la direction PX, et joignons les points successivement rencontrés au point O ; les droites ainsi obtenues tendent vers une position limite OL.
En cheminant à partir de P, dans la direction opposée PY, nous aurions de même une seconde droite limite OL’, symétrique de OL par rapport à OP.
Mais ces deux droites seront-elles dans le prolongement l’une de l’autre, c’est-à-dire perpendiculaires à OP ? C’est ce qu’il serait impossible d’affirmer en se fondant sur les deux principes précédents ; et c’est à l’assertion de ce fait que revient au fond le célèbre postulatum d’Euclide que nous énoncerons ainsi :
Dans un plan, et par un point extérieur à une droite de ce plan on ne peut mener qu’une seule droite qui ne coupe pas la première.
Les conséquences de ce postulatum pour l’espace peuvent s’en déduire en concevant une rotation effectuée autour de OP.
V. Tel est l’ensemble des faits primitifs de la géométrie.
