88 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. La partie non publiée des recherches de Gauss sur cette série, que l’on a trouvée dans ses manuscrits posthumes, a été complétée déjà en attendant par les travaux de Ruminer, qui ont paru dans le tome 15 du Journal de C relie, en i835. Il y est question des expressions de cette série par des séries analogues, où l’élément x est remplacé par une fonction algébrique de cette grandeur. Un cas particulier de ces transformations avait été déjà trouve par Euler et traité par lui dans son Calcul intégral et dans plusieurs Mémoires (sous sa forme la plus simple, dans les Nova Acta Acad. Petropol. ? t. XII, p. 58), et la relation en question est plus tard démontrée de différentes manières par Pfaff (Disquis. analyt. Helmstadii, 1797), par Gudermann (/. de Crelle, t. 7, p. 3o6), ainsi que par Jacobi.
Ruminer, en partant de la méthode d’Euler, réussit à trouver un procédé à l’aide duquel toutes les transformations peuvent être obtenues ; mais l’application effective de ce procédé exige de si pénibles discussions, qu’il recula devant l’exposition des détails relatifs aux transformations du troisième degré et se contenta d’exposer d’une manière complète celles du premier et du second et celles qui en sont composées.
Dans le Mémoire annoncé, l’auteur traite ces transcendantes d’après une méthode dont il a exposé les principes dans sa Dissertation inaugurale (§ XX), et par laquelle on arrive presque sans calcul à tous les résultats obtenus antérieurement. Aussi l’auteur espère-t-il pouvoir bientôt présenter, à la Société Royale, quelques nouveaux résultats obtenus à l’aide de cette méthode.
