90 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. sans faire l’hypothèse d’une expression de w en x et y. Comme conséquence de cette équation différentielle, en vertu d’un théorème connu, la grandeur w est représentable par une série procédant suivant les puissances entières de s — de la forme n = ai
2 an ( z — a )n ,
n — 0
pourvu que dans le voisinage de a elle admette partout une valeur déterminée variant d’une manière continue avec et celte possibilité de représentation a lieu jusqu’à une distance de a, c’est-à-dire une valeur de mod. (z — «), où il se présente une discontinuité.
A l’aide de considérations, qui reposent sur les principes de la méthode des coefficients indéterminés, on reconnaît que les coefficients an sont complètement déterminés lorsque w est donné le long d’une ligne finie partant de a, quelque petite d’ailleurs qu’elle soit.
En réunissant ces deux propositions, l’on s’assurera aisément de l’exactitude de ce théorème :
Une fonction de x + qui est donnée en une portion du plan des (x, y), ne peut être prolongée au delà d’une manière continue que d7une seule façon.
Maintenant, concevons que la fonction à traiter ne soit pas déterminée par des expressions ou équations analytiques quelconques contenant z, mais plutôt par ce fait que la valeur de la fonction est donnée en une portion du plan des z à contour d’encadrement quelconque et qu’elle est prolongée au delà d’une manière continue, en vertu de l’équation différentielle partielle . àw dw
àx dy
Ce prolongement, en vertu des propositions précédentes, est complètement déterminé, si l’on suppose qu’il est pratiqué, non le long de pures lignes, car alors l’on ne pourrait faire l’application d’une équation différentielle, mais sur des bandes de surface de largeur finie. Maintenant, d’après la nature de la fonction à prolonger, elle reprendra, ou non, toujours la même valeur pour une
