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PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.

on a encore

$\prod \left({\frac {s}{2}}-1\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)$

$=\int \limits _{1}^{\infty }\psi (x)x^{{\frac {s}{2}}-1}dx+\int \limits _{0}^{1}\psi \left({\frac {1}{x}}\right)x^{\frac {s-3}{2}}dx+{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}\left(x^{\frac {s-3}{2}}-x^{{\frac {s}{2}}-1}\right)dx$

$={\frac {1}{s(s-1)}}+\int \limits _{1}^{\infty }\psi (x)\left(x^{{\frac {s}{2}}-1}+x^{-{\frac {1+s}{2}}}\right)dx.$

Je pose maintenant

$s={\tfrac {1}{2}}+ti$

et

$\prod \left({\frac {s}{2}}\right)(s-1)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)=\xi (t),$

en sorte que

$\xi (t)={\frac {1}{2}}-\left(t^{2}+{\frac {1}{4}}\right)\int \limits _{1}^{\infty }\psi (x)x^{-{\frac {3}{4}}}\cos \left({\frac {1}{2}}t\log x\right)dx$,

ou encore

$\xi (t)=4\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {d\left[x^{\frac {3}{2}}\psi '(x)\right]}{dx}}x^{-{\frac {1}{4}}}\cos \left({\frac {1}{2}}t\log x\right)dx.$

Cette fonction est finie pour toutes les valeurs finies de $t$ et peut être développée suivant les puissances de $t^{2}$ en une série qui converge très rapidement. Puisque, pour une valeur de $s$ dont la partie réelle est plus grande que 1, $\log \zeta (s)=-\sum \log(1-p^{-s})$ reste fini et que ce même fait a lieu pour les logarithmes des facteurs restants de $\xi (t)$, la fonction $\xi (t)$ peut seulement s’évanouir lorsque la partie imaginaire de $t$ se trouve comprise entre ${\tfrac {1}{2}}i$ et $-{\tfrac {1}{2}}i$. Le nombre de racines de $\xi (t)=0$ dont les parties réelles sont comprises entre 0 et $\mathrm {T}$ est environ égal à

${\frac {\mathrm {T} }{2\pi }}\log {\frac {\mathrm {T} }{2\pi }}-{\frac {\mathrm {T} }{2\pi }}$

car l’intégrale $\textstyle \int d\log \xi (t)$ prise le long d’un contour décrit dans le sens positif, comprenant à son intérieur l’ensemble des valeurs de $t$ dont les parties imaginaires sont comprises entre ${\tfrac {1}{2}}i$ et $-{\tfrac {1}{2}}i$