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NOMBRE DES NOMBRES PREMIERS INFÉRIEURS À UNE GRANDEUR DONNÉE.

En portant ces valeurs dans l’expression de $\,f(x)$ on obtient

$f(x)=\operatorname {Li} (x)-\sum _{\alpha }\left[\operatorname {Li} \left(x^{{\frac {1}{2}}+\alpha i}\right)+\operatorname {Li} \left(x^{{\frac {1}{2}}-\alpha i}\right)\right]$ $+\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}-1}}{\frac {dx}{x\log x}}+\log \xi (0),$^{[1], [2]}

où, dans la série $\sum _{\alpha }\,$ on donnera à $\alpha$ pour valeurs toutes les racines positives (ou à parties réelles positives) de l’équation $\xi (\alpha )=0\,$ en les rangeant par ordre de grandeur. On peut alors, après une discussion plus approfondie de la fonction $\xi$, démontrer aisément que lorsque les termes sont rangés, comme il est prescrit ci-dessus, dans la série

$\sum \left[\operatorname {Li} \left(x^{{\frac {1}{2}}+\alpha i}\right)+\operatorname {Li} \left(x^{{\frac {1}{2}}-\alpha i}\right)\right]$,

celle-ci converge vers la même limite que l’expression

${\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{a-bi}^{a+bi}\,\,\,{\frac {d{\frac {1}{s}}\sum \log \left[1+{\frac {\left(s-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}{\alpha ^{2}}}\right]}{ds}}x^{s}ds,$

lorsque la grandeur $b$ croît sans limites. Mais, si l’on changeait cet ordre des termes de la série, on pourrait obtenir pour résultat n’importe quelle valeur réelle.

À l’aide de $f(x)\,$ l’on obtient $\mathrm {F} (x)\,$ par inversion de la relation

$f(x)=\sum {\frac {1}{n}}\mathrm {F} \left(x^{\frac {1}{n}}\right)$,

ce qui donne l’équation

$\mathrm {F} (x)=\sum (-1)^{\mu }{\frac {1}{m}}f\left(x^{\frac {1}{m}}\right),$

où $m$ doit être remplacé successivement par tous les nombres qui ne sont divisibles par aucun carré excepté $1$ et où $\mu$ désigne le nombre des facteurs premiers de $m$.

Si on limite $\sum _{\alpha }\,$ à un nombre fini de termes, la dérivée de l’expression $f(x)$ c’est-à-dire, abstraction faite d’une partie qui dé-

1. Note HME 1974, p. 31. Riemann écrit $\log \xi (0)\,$ à la place de $-\log 2$, mais puisqu’il utilise $\xi \,$ pour noter une fonction différente — à savoir la fonction $\xi ({\tfrac {1}{2}}+it)$ — son $\xi (0)\,$ dénote $\xi ({\tfrac {1}{2}})\neq {\tfrac {1}{2}}\,$. Cette erreur a été détectée du vivant de Riemann par Angelo Genocchi (1817–1889), Formole per determinare quanti siano i numeri primi fino ad un dato limite, in Annali di Matematica Pura ed Applicata 3 (1860), p. 52-59.
2. Note du trad. La fonction $\operatorname {Li} (x)$ doit être définie pour les valeurs réelles de $x$ qui sont plus grandes que 1 par l’intégrale
   $\int _{0}^{x}{\frac {dx}{\log x}}\pm \pi i$

   
   où l’on doit prendre le signe supérieur ou bien le signe inférieur, selon que l’intégration est prise relativement à des valeurs complexes dans le sens positif ou bien dans le sens négatif. De là l’on déduit aisément le développement donné par Scheibner (Schlömilch’s Zeitschrift, t. V)

   $\operatorname {Li} (x)=\log \log x-\Gamma '(1)+\sum _{1,\infty }^{x}{\frac {(\log x)^{n}}{n.n!}}$,

   
   qui est valable pour toutes les valeurs de $x$, et présente une discontinuité pour les valeurs réelles négatives (comparer la correspondance entre Gauss et Bessel).

   Si l’on poursuit le calcul indiqué par Riemann, on trouve dans la formule $\log {\tfrac {1}{2}}$ au lieu de $\log \xi (0)$. Il est très possible que ceci ne soit qu’un lapsus calami, ou une faute d’impression, $\log \xi (0)$ au lieu de $\log \zeta (0)$ ; en effet, $\log \zeta (0)={\tfrac {1}{2}}$.