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PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.
croît très rapidement lorsque croît,
,
fournit une expression approchée pour la densité des entiers premiers
la moitié de la densité des carrés, le tiers de celle
des cubes, des entiers premiers inférieurs à
La formule approchée connue n’est, par conséquent,
exacte qu’aux grandeurs près de l’ordre de et fournit une
valeur un peu trop grande ; car les termes non périodiques[1] dans l’expression de sont, abstraction faite de grandeurs qui ne croissent pas indéfiniment avec
Du reste, la comparaison, entreprise par Gauss et Goldschmidt[2],
de avec le nombre de nombres premiers inférieurs à et
poursuivie jusqu’à trois millions a révélé que ce nombre, à partir
de la première centaine de mille, est toujours inférieur à
et que la différence des valeurs, soumises à maintes oscillations,
croît néanmoins toujours avec [3]. Mais la fréquence et la réunion
plus dense par endroits des nombres premiers, si l’on peut s’exprimer
ainsi, sous l’influence des termes périodiques, avaient déjà
attiré l’attention, lors du dénombrement des nombres premiers,
sans que l’on eût aperçu la possibilité d’établir une loi à ce sujet.
Il serait intéressant dans un nouveau dénombrement, d’étudier
l’influence de chaque terme périodique contenu dans l’expression
donnée pour la totalité des nombres premiers. Une marche plus
régulière que celle donnée par serait obtenue à l’aide de la
fonction qui, cela se reconnaît déjà très évidemment dans la
première centaine, coïncide en moyenne avec .
- ↑ Note H.M.E. —En toute rigueur, les termes ne sont pas périodiques mais oscillatoires.
- ↑ Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt (1807–1851), un élève de Gauss.
- ↑ Lettre de Carl Friedrich Gauss à Johann Franz Encke (1791–1865) du 24 décembre 1849.