Page:Riemann - Œuvres mathématiques, trad Laugel, 1898.djvu/21

La bibliothèque libre.
Cette page a été validée par deux contributeurs.

minima ayant un contour fixe donné ; en Physique, nous dirions la figure d’équilibre d’une lame fluide qui est encadrée par un contour donné. Et ce qui est tout à fait remarquable, c’est que, d’après les méthodes de Riemann, dans les cas les plus simples, les fonctions bien étudiées depuis longtemps dans l’Analyse suffisent à la résolution du problème.

Ces applications dont je parle ne sont, il est clair, qu’un côté de la question, car l’importance capitale des méthodes, qui appartiennent à la théorie générale des fonctions, a trait, sans nul doute, au côté qui touche aux Mathématiques pures. Il me faut chercher à développer cet ordre d’idées d’une manière plus précise, comme l’exige l’importance du sujet, sans pour cela présupposer que l’auditeur en ait déjà une connaissance approfondie. Permettez-moi de répondre, dès le début, à une question générale : celle relative au progrès, dans le domaine des Mathématiques pures. Aux regards de ceux qui sont étrangers à cette science, l’avancement en paraît peut-être tenir de l’arbitraire, car pour celui qui n’est pas ici sur son terrain, il manque un point de comparaison bien déterminé sur lequel puisse se concentrer l’attention. Et cependant il n’en existe pas moins un guide sûr et, dans un sens plus restreint, bien connu dans toutes les autres disciplines de l’intelligence humaine.


C’est la continuité historique. Les Mathématiques pures progressent à mesure que les problèmes connus sont approfondis en détail d’après des méthodes nouvelles. À mesure que nous comprenons mieux les anciens problèmes, les nouveaux se présentent d’eux-mêmes.


En partant de ce principe, nous devons jeter un coup d’œil sur la matière élaborée dans la théorie des fonctions que trouvait à sa disposition Riemann dans les débuts de sa carrière. On avait découvert que, parmi les fonctions analytiques d’une variable, c’est-à-dire les fonctions de , trois grandes catégories sont particulièrement dignes d’attention.

Ce sont d’abord les fonctions algébriques, qui sont définies