par un nombre fini d’opérations élémentaires (addition, multiplication, division) et regardées ainsi par opposition aux fonctions transcendantes dont la fixation nécessite une suite infinie desdites opérations. Parmi ces dernières fonctions, les plus simples qui se présentent d’abord sont naturellement : d’une part, les logarithmes ; de l’autre, les fonctions trigonométriques, le sinus, cosinus, etc. Des recherches ultérieures avaient conduit alors, d’une part, aux fonctions elliptiques qui proviennent de l’inversion de l’intégrale elliptique de première espèce et, d’autre part, à d’autres fonctions qui ont des relations avec la série hypergéométrique de Gauss, et qui sont les fonctions sphériques, les fonctions de Bessel, la fonction gamma, etc.
La gloire de Riemann peut être dépeinte en peu de mots, en disant que, dans chacune de ces trois grandes catégories de fonctions, il a trouvé des résultats et des méthodes inconnus avant lui, et que ses découvertes forment une source qui, loin d’être tarie, n’en est que chaque jour plus féconde. Quelques indications nous le feront mieux saisir.
L’étude des fonctions algébriques revient essentiellement à celle des courbes algébriques, dont les propriétés font le sujet d’étude des géomètres, qu’ils se comptent parmi les adeptes de la Géométrie analytique, où les formules jouent le rôle principal, ou bien de la Géométrie synthétique, au sens de Steiner et de von Staudt, où l’on étudie la manière dont sont engendrées les courbes, à l’aide de séries de points ou de faisceaux de rayons. Le point de vue essentiellement nouveau qu’a introduit Riemann dans cette théorie est celui de la transformation générale univoque. Dès ce moment, les courbes algébriques, en nombre immense de formes, sont réunies en grandes catégories où, faisant abstraction des propriétés spéciales de la forme particulière des courbes, l’on aborde l’étude générale des propriétés communes à toutes les courbes ainsi réunies. Les géomètres ne manquèrent pas d’étudier, à leurs points de vue spéciaux, les résultats obtenus par ces méthodes et de poursuivre cette voie, et principalement Clebsch, qui attaqua aussitôt le problème consistant à introduire ces méthodes dans l’étude
